( ) y = x 5 ( ) 2x (x 5) = 7 ( ) y = 2 5 = 3

SYSTEMES D’EQUATIONS
315
Leçon 1
Ex 1 à 5 p. 88
I. SYSTEME DE 2 EQUATIONS A 2 INCONNUES
x + 3y = 11
x 2y = 4
Par exemple : S1 est un système de 2 équations à 2 inconnues
Résoudre un tel système, c’est trouver le ou les couples ( x; y) qui sont solutions à la fois de la première et
de la deuxième équation.
( x;y )
(1 ; 2)
(5 ; 2)
(1 ; 2,5)
(0 ; 1)
(-1 ; 4)
(-2 ; 1)
(2 ; 3)
x + 3y = ...
Solution de x + 3y = 11
x 2y = ...
Solution de x 2y = 4
Solution du système
Exercices 4 p. 86 et 12 p . 97
II. RESOLUTION D’UN SYSTEME DE 2 EQUATIONS A 2 INCONNUES
a. Résolution d’un système par substitution
2x y = 7 (E1 )
-x + y = -5 (E2 )
Résoudre le système (S2) 1. Exprimer une inconnue en fonction de l’autre ; par exemple y en fonction de x dans l’équation (E2).
( E2 ) y = x 5
(On choisit l’équation la plus simple !)
2. Remplacer y = x 5 dans l’autre équation (E1) et la résoudre.
( E1 ) 2x (x 5) = 7
On obtient ainsi une équation avec une seule
inconnue que l’on sait résoudre !
2x x + 5 = 7
x+5=7
x= 75
x=2
3. Pour trouver la valeur de y, il suffit de remplacer x = 2 dans l’expression y = x 5 obtenue en 1.
( E2 ) y = 2 5 = 3
4. Vérification : On remplace x et y par les valeurs trouvées dans les équations de départ, (E1) et (E2).
(E1) : 2x y = 2 2 (3) = 4 + 3 = 7
(E2) : x + y = 2 + (3) = 5
5. Conclusion : Le couple (2 ; -3) est la seule solution du système.
Exercices 8 p. 96, 13 et 19 p. 97
© www.maths974.fr
SYSTEMES D’EQUATIONS
315
Leçon 2
b. Résolution d’un système par combinaison
2x + 7y = 39 (E1 )
3x + 4y = 26 (E2 )
Résoudre le système ( S3 ) 1. On multiplie les membres d’une ou des deux équations par un certain nombre pour faire apparaître le
même coefficient devant x ou devant y ; Dans notre exemple, on peut multiplier les deux membres de
l’équation (E1) par 3 et les deux membres de la seconde par 2.
On obtient :
(E 1) 3 6x + 21y = 117
(E 2 ) 2 6x + 8y = 52
2. On élimine l’inconnue x en retranchant « terme à terme » les membres des deux équations.
On obtient :
Soit :
D’où :
21y 8y = 117 52
13y = 65
65
y=
=5
13
équation du 1er degré que l’on sait résoudre !
3. On remplace y par sa valeur dans (E1) ou (E2).
6x + 8 5 = 52
Et on trouve :
6x = 12
Soit :
x =2
D’où :
4. Vérification : On remplace x et y par les valeurs trouvées dans les équations de départ, (E1) et (E2).
(E1) :
(E2) :
5. Conclusion : Le couple (2 ; 5) est la seule solution du système.
Exercices 23 à 26 p.97
III. RESOLUTIONS DE PROBLEMES
Activités 1 à 3 p.89
Trouver deux entiers dont la somme est 145 et la différence est 63.
•
•
Choix des inconnues : Soit
Mise en équations :
x et y ces 2 entiers.
x + y = ......
x y = ......
On obtient le système suivant : •
Résolution du système (par combinaison par exemple) :
•
Vérification :
•
Conclusion :
© www.maths974.fr
SYSTEMES D’EQUATIONS
315
Leçon 3
IV. INTERPRETATION GRAPHIQUE D’UN SYSTEME
Activité 4 p.90
2x y = 3
x y =1
Considérons le système S4 1. Ecrire chaque équation sous la forme y = ax + b (équation d’une droite !)
On obtient pour (E1) :
Soit :
y = 2x 3
y = 2x + 3
Et pour (E2) :
Soit :
y = x + 1
y = x 1
2. Représenter les fonctions affines associées à chaque équation. C’est à dire tracer les droites d1 et d2
d’équations respectives y = 2x + 3 et y = x 1
3. Conclusion : les coordonnées du point
d’intersection des deux droites
donnent le couple solution du
système.
7
6
5
On obtient :
4
3
2
1
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
-1
1
2
3
4
5
6
7
-2
-3
-4
-5
-6
-7
Remarque : Un tel système admet :
1. Un unique couple solution si les deux droites sont sécantes.
2. Aucune solution si les droites sont parallèles et distinctes.
© www.maths974.fr