2010 - MATh.en.JEANS

Mattéo, Aubry, Hugo, Damien, Julien, Antoine, Agathe, Solène, Maxime, Lucas, Hugo, Tom,
Fabien, Guillaume,Ilona, Clara, Laura
Anaïs Dehez, Frédérique Fournier,
1. Le sujet
Décomposer 2010 sous forme d'une somme de nombres de telle sorte que le produit obtenu avec
les nombres trouvés soit le plus grand possible.
2. Exemples et premières observations
Dès les premiers essais, deux observations sont venues d’elles mêmes :
- observation 1 : il ne faut pas utiliser 0 dans la décomposition
En effet : si on utilise 0 dans la décomposition, le produit obtenu ensuite est égal à 0 !!
Il est donc facile de réaliser une décomposition qui donnera un produit supérieur à 0 :
Exemple : 2010 = 2009 + 1 et 2009 x 1 = 2009 > 0
- observation 2 : il ne faut pas utiliser 1 dans la décomposition
En effet, on obtient alors un produit égal au nombre précédent le nombre choisi
Si on choisit 2010 : 2010 = 2009 + 1 et 2009 x 1 = 2009 qui est le prédécesseur de 2010.
Et on peut alors décomposer en utilisant 2 : 2010 = 2008 +2 et 2008 x 2 = 4016 > 2009.
Cas général : on prend n un nombre supérieur à 3 :
Décomposition
Produit
n =(n – 1) + 1
(n-1)x1 = n – 1
n = (n – 2) + 2
(n-2)x2 = 2n-4
En calculant la différence : (2n – 4) – (n-1) = 2n – 4 – n +1 = n – 3 qui est strictement positive dès que
n est strictement plus grand que 3.
Conclusion : la décomposition utilisant 1 donne un produit toujours plus petit que la décomposition
n = (n-2) + 2 dès que n>3.
Observation 3 : D'après nos premières décompositions il nous semble que plus les termes sont
petits (en évitant le 1), plus le produit obtenu est grand
Illustration :
> 2010 = 2000 + 10
2000 x 10 = 20 000
7
> 2010 = 1000 + 1000 +10
1000 x 1000 x 10 = 10
> 2010 = 10 + 10 + …..+ 10
10 x 10 x 10 ..x 10 = 10
201
3. Conjecture sur 2 et 3
Les différents essais, et ils furent nombreux et nous ont occupés bien longtemps !!! conduisent à
l’idée que plus les nombres utilisés dans la décomposition sont petits (en évitant le 1), plus le produit
devient grand.
Les deux nombres les plus petits non décomposables sans utiliser 1 sont 2 et 3 :
En effet : 2 = 1 + 1 ; 3 = 2 +1 , si n> 3, n = (n-2) + 2, donc se décompose sans utiliser 1.
En essayant de décomposer les autres « petits » nombres que l’on pourrait utiliser,
De nouvelles observations sont apparues, que nous avons démontrées par la suite :
Observation 4 : Si dans une décomposition on utilise le nombre 5, il vaut mieux décomposer celui-ci
en 3 + 2.
En effet :
Prenons un nombre A qui se décompose ainsi : A = B + 5
Alors A = B + 3 + 2
Et B x 3 x 2 = B x 6 > B x 5
Observation 5 : Si dans une décomposition on utilise le nombre 4, cela revient au même que si on le
redécompose en 2 + 2.
En effet : si A = B + 4 = B + 2 + 2
Alors B X 4 = B x 2 x 2 ( puisque 2 x 2 = 4 )
Conclusion :
Dans les décompositions, nous n'allons utiliser que des 2 et des 3.
4. Des calculs incalculables !
On décompose donc 2010 à l’aide de 2 et de 3 :
1005
> 2010 = 2 + 2 + 2 …. + 2 = 2 x 1005
et
2
302
~ 3,42882754x10
670
> 2010 = 3 + 3 +… + 3 = 3 x 670
et
3
(trouvé sur internet)
319
~ 4,70427x10
(trouvé sur internet)
Question : ces résultats sont-ils fiables ? ils sont donnés par des sites qui disent effectuer des grands
calculs …
nombre
Pour en avoir le cœur net, les élèves de 3ème ont une idée : écrire 3 comme 2
A l’aide de la calculatrice, on a trouvé une valeur approchée de ce nombre : 1,584962500721
1,584962500721
Cela signifie que :
3 est à peu près égal à 2
670
On a donc :
3
1,584962500721 670
à peu près égal à (2
)
1270
et donc à au moins 2
670
Conclusion :
3
1005
>2
5.Des pistes
Parce que nous avons fait de nombreux essais, tout au long de l’année et séparément dans les deux
collèges, on peut, collectivement, émettre la conjecture suivante :
Soit A un nombre entier supérieur à 3 :
>> Si A est un multiple de 3, on obtiendra le plus grand produit en ne décomposant qu’avec des 3.
670
Exemple : 2010 = 3 x 670 -> plus grand produit : 3
>> Si A est un multiple de 3 plus 1, on obtiendra le plus grand produit en ne décomposant qu’avec
des 3 et un 4.
2
Exemple : 10 = 9 + 1 -> plus grand produit : 4 x 3 = 36
10
34 = 33 + 1 -> plus grand produit : 4 x 3 = 236 196
>>Si A est un multiple de 3 plus 2, on obtiendra le plus grand produit en ne décomposant qu’avec des
3 et un 2.
3
Exemple : 11 = 9 + 2 -> plus grand produit : 2 x 3 = 54
11
35 = 33 + 2 -> plus grand produit : 2 x 3 = 354 294
6. Du côté des décimaux ?
D’après ce qui précède, on donc peut supposer que le nombre permettant le plus grand produit est
compris entre 2 et 3.
On a repris les calculatrices du web …
804
> 2,5
319
~8,78 x 10
773
> 2,6
320
~5,89 x 10
744
> 2,7
320
~ 8,55x10
718
> 2,8
321
~ 1,15x10
693
> 2,9
320
~2,8 x10
conclusion : Le nombre cherché est donc compris entre 2,7 et 2,91.
1
Remarque de Xavier Buff : le nombre que nous cherchons est la nombre appelé e, et ce nombre est compris
entre 2,7 et 2,9