NOMBRES COMPLEXES 1 Les nombres

Lycée Auguste Brizeux
PCSI B
Programme de colle : semaine 3 (du 29 septembre au 3 octobre 2014)
NOMBRES COMPLEXES
mise en place, représentation géométrique et équations du second degré
Objectifs
• Remettre en place l'ensemble des nombres complexes, les diérentes écritures d'un nombre complexe,
et l'interprétation géométrique que l'on peut en faire.
• Mettre en place la notion d'exponentielle complexe, qui sera exploitée dans la suite du cours d'analyse.
• Etendre la résolution d'équations du second degré au cas où les coecients sont complexes, en
utilisant la notion de racine(s) carrée(s) d'un nombre complexe.
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Les nombres complexes
1. On admet l'existence d'un ensemble appelé ensemble des nombres complexes, et noté C, contenant
l'ensemble R des nombres réels et un nombre i vériant i2 = −1, et muni d'une addition et d'une
multiplication qui prolongent les opérations connues dans R.
2. Propriétés des opérations sur C.
3. Conjugué d'un nombre complexe ; propriétés.
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Représentation géométrique
1. Le plan complexe. Axe d'un point, d'un vecteur. Calcul vectoriel à l'aide des axes.
2. Module d'un nombre complexe : dénition "géométrique", et formule calculatoire permettant de voir
le module comme un prolongement de la valeur absolue ; propriétés "multiplicatives" ; inégalité(s)
triangulaire(s) ; disques et cercles.
3. Ensemble des complexes de module 1, ou cercle trigonométrique U ; notation exponentielle, et propriétés
(dont les formules d'Euler et de Moivre) ; exponentielle complexe.
4. Argument d'un nombre complexe non nul : présentation géométrique, détermination explicite, propriétés vis-à-vis du produit, du passage à l'inverse, et du quotient. Module et argument de z−a
z−b :
caractérisation d'alignement de points, d'orthogonalité de vecteurs...
5. Utilisation des formules d'Euler pour la réécriture de 1 ± e iθ = · · · (où θ ∈ R), et de e ia ± e ib = · · · (où
(a, b) ∈ R2 ).
On en déduit les formules de trigonométrie : cos(a) ± cos(b) = · · · et sin(a) ± sin(b) = · · ·
6. Réécriture d'une expression de la forme a cos(t) + b sin(t) pour déterminer amplitude et phase.
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Résolution des équations du second degré dans
C
1. Notion de racine carrée d'un nombre complexe : il ne s'agit pas tout à fait de la même notion que celle
vue en analyse. En particulier, un nombre complexe non nul admet plusieurs racines carrées.
2. Calcul explicite sous forme trigonométrique : en particulier, un nombre complexe non nul admet exactement deux racines carrées.
3. Calcul explicite sous forme algébrique.
4. Application à la résolution des équations du second degré à coecients complexes.
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Rappel des épisodes précédents
Les élèves pourront, cette semaine, encore être interrogés sur des études de fonctions : les notions, résultats
et études (de fonctions usuelles) vus lors du chapitre précédent doivent être parfaitement connus.
Toutes les dénitions et tous les énoncés des propositions doivent être sus, et feront éventuellement l'objet d'une question de cours. Les élèves seront également interrogés sur la démonstration
de l'un des résultats suivants (choisi par l'interrogateur)
:
√
• Etude de la dérivabilité de la fonction x 7→ x.
• Pour tout x ∈ R∗+ et pour tout n ∈ Z, ln (xn ) = n ln(x).
• Inégalité triangulaire : pour tout (z, z 0 ) ∈ C2 , |z + z 0 | 6 |z| + |z 0 |.
• Description des racines carrées d'un nombre complexe non nul écrit sous forme exponentielle .
À ne pas oublier
Les élèves doivent être capable, sans hésitation, de :
,→ réécrire ecacement des expressions du type 1 ± e iθ , où θ ∈ R ;
,→ calculer les racines carrées d'un nombre complexe non nul écrit sous forme algébrique ;
,→ résoudre une équation du second degré à coecients complexes.
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