Chapitre EM 2 : Potentiel électrostatique : aspect

Chapitre EM2 : Potentiel électrostatique : aspect
énergétique et application au dipôle
Sciences Physiques - ATS
I
~ potentiel V
Circulation de E,
~
E
A
1.
C
Cas d’une charge ponctuelle
En appelant ~er le vecteur radial en coordonnées sphériques, le champ
~ = q 2 ~er et
r
produit en M (r,θ,ϕ) par une charge q placée en O est E
4πε0 r
le déplacement élémentaire d~r s’écrit d~r = dr~er + rdθ~eθ + r sin θdϕ~eϕ . q
La base étant orthonormée, on définit la circulation élémentaire de O
~ le long de C.
E
~er
M
d~r
B
~ r=
E.d~
q
q
1
q
dr = −
d( ) = −d(
+ Cte) = −dV
2
4πε0 r
4πε0 r
4πε0 r
avec
V =
q
4πε0 r
V (r) est le potentiel électrostatique créé en M (r,θ,ϕ) par la charge q placée à la distance r, son unité
est le volt (V) et on a bien E en V.m−1 (on prend la constante nulle car plus d’influence si r → ∞).
~
Remarque : V n’est pas défini au point champ r = 0 (comme E).
~ r, entre A et B, on obtient
Par intégration de dV = −E.d~
Z B
Z B
~ r = UAB
E.d~
où UAB est la différence de potentiel entre A et B.
dV = VA − VB =
−
A
2.
A
Généralisation
Le principe de superposition permet de généraliser le résultat précédent aux distributions de charges.
Z
Z B
X qi
dq
dq
~
~
~
~ dr
V =
−→ dV =
= −E.dr ⇒ V =
et UAB =
E.
4πε
r
4πε
r
4πε
r
0
i
0
0
D
A
i
Remarques :
R
~ = UAB ne dépend pas du chemin suivi, on dit
~ entre deux points B E.
~ dl
• La circulation de E
A
H
H
~ est à circulation conservative. Par exemple, CAA = A dC = − A dV = VA − VA = 0.
que E
A
A
• En fait, V est défini à une constante près, on parle de choix de Jauge mais cette constante
~ grandeur mesurable directement, on dit que E
~ est invariant de Jauge.
n’influe pas sur E,
• Le potentiel s’il est défini, est continu en tout point de l’espace, ce qui n’est pas forcément le cas
du champ électrostatique (Cf. exercices), cela permet de déterminer les constantes d’intégration.
• Dans le cas d’une distribution de dimension infinie (plan infini par exemple), il existe des
charges à l’infini et ces expressions ne sont applicables que si l’intégrale converge.
1
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3.
ATS
Opérateur gradient
~ une fonction scalaire f (par exemple V , Ep ,
Définition : si lors du déplacement dr
−−−→
T ...) varie de df , le champ de vecteur grad f (gradient de la fonction scalaire f ) est
−−−→ ~
défini à partir de la différentielle totale df par df = grad f.dr.
Ici,
−−→
~ r ⇐⇒ E
~ = −−
dV = −E.d~
grad V
Expression dans les différents systèmes de coordonnées
• En coordonnées cartésiennes : U (x,y,z).
~ = dx~ex + dy~ey + dz~ez et dU =
On sait que dr
∂U
dx
∂x y,z
+
∂U
dy
∂y x,z
+
∂U
dz
∂z x,y
−−−→ ~
dU = grad U.dr
= (gradx U~ex + grady~ey + gradz~ez )(dx~ex + dy~ey + dz~ez )
dU (x,y,z) = gradx U dx + grady U dy + gradz U dz
−−−→
où (gradx ,grady ,gradz ) sont les composantes de grad U dans le système de coord. cartésiennes.
Par identification, on obtient
d
−−−→
grad U =
∂U
~e
∂x y,z x
+
∂U
~e
∂y x,z y
+
∂U
~e
∂z x,y z
=
∂U
∂x y,z
∂U
∂y x,z
∂U
∂z x,y
~
E
~ = E.~ex = − ∂V ~ex −
Dans le cas d’un condensateur plan, E
∂x
d’où, par identification,
∂V
∂y
=
∂V
∂z
= 0 et
∂V
∂x
=
dV
dx
B
on retrouve E = VA −V
= Ud .
d
• En coordonnées cylindriques : U (r,θ,z).
~ = dr~er + rdθ~eθ + dz~ez et dU =
On sait que dr
−
∂V
~e
∂z z
∂U
dθ
∂θ r,z
+
∂U
dz
∂z r,θ
= −E,
∂U
dr
∂r θ,z
+
~ex
∂V
~e
∂y y
U
−−−→ ~
dU = grad U.dr
= gradr U dr + gradθ U rdθ + gradz U dz
−−−→
Par identification, grad U =
∂U
~e
∂r θ,z r
+
1 ∂U
~e
r ∂θ r,z θ
+
∂U
~e
∂z r,θ z
∂U
∂r θ,z
1 ∂U
r ∂θ r,z
∂U
∂z r,θ
=
(r,θ,z)
Homogène.
• En coordonnées sphériques : U (r,θ,ϕ).
~ = dr~er + rdθ~eθ + r sin θ~eϕ et dU =
On sait que dr
∂U
dr
∂r θ,ϕ
+
∂U
dθ
∂θ r,ϕ
+
∂U
dϕ
∂ϕ r,θ
−−−→ ~
dU = grad U.dr
= gradr U dr + gradθ U rdθ + gradϕ U r sin θdϕ
−−−→
Par identification, on obtient grad U =
∂U
~e
∂r θ,ϕ r
+
1 ∂U
~e
r ∂θ r,ϕ θ
+
1 ∂U
~e
r sin θ ∂ϕ r,θ ϕ
∂U
∂r θ,ϕ
1 ∂U
r ∂θ r,ϕ
1 ∂U
r sin θ ∂ϕ r,θ
=
(r,θ,ϕ)
Homogène.
2
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4.
ATS
Exemple : potentiel sur l’axe du segment chargé
Le potentiel V étant un scalaire, il n’y a pas de problème de
projection.
λdz
λdz
dq
q
√
=
=
dV =
2
2
4πε0 P M
4πε0 r + z
4πε0 r 1 +
on pose u =
z
r
P
dq = λdz
α0
z2
r2
α
⇐⇒ dz = rdu et
λ
λrdu
√
⇒V =
dV =
4πε0
4πε0 r 1 + u2
z
a
~er
Z
a/r
−a/r
r M
r
du
√
1 + u2
√
a/r
√
λ
λ
r 2 + a2
a
+
√
V =
=
ln
ln(u + 1 + u2 )
4πε0
4πε0 −a + r2 + a2
−a/r
−a
Remarques :
−−→
~ = −−
~ déterminée dans EM01 .
• On peut vérifier que E
grad V en utilisant l’expression de E
• Pour un fil infini, a → ∞ et V est non défini, il y a un problème car il existe des charges à
l’infini → autre méthode.
II
1.
Topographie du potentiel
Surfaces équipotentielles
Définition : ce sont des surfaces sur lesquelles le potentiel V est constant.
Propriétés :
• Deux surfaces équipotentielles correspondant à des potentiels différents ne peuvent pas avoir
d’intersection.
~ r donc E
~ qui est
• Si on se déplace de d~r sur une surface équipotentielle, dV = 0 or, dV = −E.d~
selon une ligne de champ est normal à d~r.
Le champ est donc perpendiculaire aux surfaces équipotentielles et les lignes de champ sont
−−→
~ = −−
orientées dans le sens des potentiels décroissants : E
grad V .
On peut faire une analogie entre les équipotentielles et les courbes de niveau d’une carte géographique, les lignes de champ correspondant aux lignes de plus grande pente.
3
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Exemples :
• Charge ponctuelle : V =
x
q
4πε0 r
⇒sphères (r =
ATS
p
x2 + y 2 + z 2 = Cte) centrées au point source.
V
y
y
PSfrag replacements
ments
x
• Autres Exemples :
(+q ; +q)
2.
(+q ; −q)
(q ; −2q)
Symétries et invariances
Le potentiel obéit au principe de Curie, en conséquence.
• Si la distribution admet Π = xOy comme plan de symétrie, V est une fonction paire de z.
• Si elle admet Π∗ = xOy comme plan d’antisymétrie, V est une fonction impaire de z.
• Le potentiel a les mêmes invariances que la distribution de charges.
4
Chapitre EM2 : Potentiel électrostatique : aspect énergétique et application au dipôle
III
1.
ATS
Aspect énergétique
Travail de la force électrostatique
Soit une charge q située en M et subissant la force électrostatique A
~ e due à une distribution D extérieure et fixe.
F~ = q E
Si M se déplace de d~r, sur C le travail de F~ est
~ e .d~r = −q.dVe
δW = F~ .d~r = q E
~e
E
C
M
q
B
D
par définition du potentiel Ve créé par D en M .
q étant constante, on en déduit le travail de F~ entre les points A et B par intégration :
Z B
WA→B =
δW = −q(Ve,B − Ve,A ) = q(Ve,A − Ve,B ) = qUe,AB
A
Remarques :
• Le travail de la force électrostatique F~ est indépendant du chemin suivi. La force électrostatique
F~ est conservative
• δW est nul si la particule se déplace sur une équipotentielle (marcheur sur une ligne de niveau).
2.
Énergie potentielle d’une charge placée dans un champ extérieur
WA→B est indépendant du chemin suivi, c’est à dire que F~ est une force conservative et on peut
définir une énergie potentielle dont elle dérive (Cf. M3 )
δW = −qdVe = −d(qVe + Cte) = −dEp
Ep = qVe + Cte ⇒ WA→B = −∆Ep
et
δW = F~ .d~r = −dEp ⇐⇒
−−−→
F~ = −grad Ep
Remarques :
−−−→
• La relation F~ = −grad Ep implique que le déplacement spontané de M se fait toujours dans
le sens des Ep décroissantes : équilibre stable si Ep minimale (Cf. M3 ).
−−−→
• La relation F~ = −grad Ep est généralisables à toutes les forces conservatives F~ qui dérive d’une
énergie potentielle Ep .
3.
Énergie potentielle d’interaction électrostatique d’une distribution de
2 charges
Soit la distribution {charge q1 en P1 et q2 en P2 }.
Son énergie potentielle (intérieure) est l’énergie potentielle de M 2 dans le champ créé par M1 : En
effet l’espace, au départ, est vide de charge donc l’opérateur ne fournit aucun travail électrique pour
amener q1 en P1 . En revanche, il fournit un travail q2 V1 (P2 ) pour amener la charge q2 placée à l’infini
au point P2 .
On sait que V1 (P2 )=
q1
1
4πε0 P1 P 2
et V2 (P1 ) =
q2
1
4πε0 P1 P 2
5
Chapitre EM2 : Potentiel électrostatique : aspect énergétique et application au dipôle
Ep,int = Ep,1 (M2 ) = q2 V1 (P2 ) = q2
ATS
q1 q2
q1
⇒ Ep,int =
4πε0 P1 P2
4πε0 P1 P2
Remarque :
• Ep,int = q1 4πε0qP2 1 P2 = q1 V2 (P1 ) = Ep,2 (M1 ), c’est aussi l’énergie potentielle de M1 dans le champ
créé par M2 (par symétrie).
IV
1.
Dipôle électrostatique
Introduction
Définitions :
p~
• Un dipôle électrostatique est un doublet constitué de
A
B
deux charges ponctuelles et opposées (−q en A et +q en
+q
−q
B) situées à une distance a constante et dont on étudie les effets à une distance
très supérieure à a : approximation dipolaire.
• On caractérise le dipôle par son moment dipolaire p~ =
−→
q.AB en C.m ou en Debye (1 D = 13 .10−29 C.m) orienté
de la charge −q à la charge +q.
Exemples : certaines molécules peuvent présenter un moment dipolaire permanent, c’est le cas si
le barycentre des charges positives n’est pas confondu avec le barycentre des charges négatives.
O −2δq
H
p~
Cl
+δq
p~1
+δq
p~2
O p~2
+δq
C p~1 O
−δq
H
H
p~ = p~1 + p~2
HCl (p ' 1,08 D)
−δq
+2δq
−δq
CO2 (p = 0 D)
H2 O (p ' 1,85 D)
~ e (B)
F~B = q.E
~e
Actions subies par un dipôle dans un champ extérieur E
2.
~ e sur un dipôle rigide
On considère l’action d’un champ extérieur E
−→
de moment dipolaire p~ = q AB.
2.a.
Cas d’un champ extérieur uniforme
• Force totale subie :
~e
E
A
−q
O
B
+q
~Γ
~ e (A)
F~A = −q.E
~ e (B) − E
~ e (A)) = ~0
F~ = F~A + F~B = q(E
si le champ est uniforme.
• Moment des forces calculé en O :
→
−−→
−−→ −→
→ ~
~Γ = −
~ e = q−
OA ∧ F~A + OB ∧ F~B = q(OB − OA) ∧ E
AB ∧ E
e
Il s’agit en fait d’un couple
~Γ = p~ ∧ E
~e
qui tend à aligner le dipôle dans la direction du champ extérieur.
6
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ATS
• Énergie potentielle d’interaction :
Ep = qVe (B) − qVe (A) = q[Ve (B) − Ve (A)]
~ e c’est à dire
où Ve est le potentiel des charges qui créent E
−−→
~ e = −−
~ e .d~r ⇐⇒ Ve (B)−Ve (A) = −
E
grad Ve ⇐⇒ dVe = −E
Z
B
A
~ e .d~r = −E
~e
E
Z
B
A
→
~ e .−
d~r = −E
AB
si le champ est uniforme. On en déduit alors
−→ ~
~e
Ep = −q AB.E
p.E
e = −~
• Positions d’équilibre :
~ de même direction et même sens : Ep = −pE minimale.
? équilibre stable : p~ et E
~ de même direction et sens opposés : Ep = pE maximale.
? équilibre instable : p~ et E
2.b.
Cas d’un champ non uniforme
Si on considère que le champ extérieur varie peu sur une distance de l’ordre de grandeur de la
~e
dimension du dipôle : a dimension caractéristique des variations spatiales de E
• Si le champ est localement uniforme, les grandeurs non nulles (énergie potentielle d’interaction
et couple) restent grandes devant le terme correctif et
~Γ ' p~ ∧ E
~e
;
~e
Ep ' −~p.E
• On en déduit la force exercée (nulle tout à l’heure, le terme correctif n’est donc plus négligeable) :
−−−→
−−−→ ~
F~ = −grad Ep = grad (~p.E
e)
PSfrag replacements
s
Dans un premier temps, le couple ~Γ fera tourner le dipôle
~ e passant par
pour l’aligner suivant la ligne de champ de E
L
le dipôle puis aura tendance à le déplacer vers les régions
de champ intense.
~e
E
~e
E
~eT
~e
E
p~
~e
E
7
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ATS
Table des matières
I
~ potentiel V
Circulation de E,
1. Cas d’une charge ponctuelle
2. Généralisation
3. Opérateur gradient
4. Exemple : potentiel sur l’axe du segment chargé
II Topographie du potentiel
1. Surfaces équipotentielles
2. Symétries et invariances
III Aspect énergétique
1. Travail de la force électrostatique
2. Énergie potentielle d’une charge placée dans un champ extérieur
3. Énergie potentielle d’interaction électrostatique d’une distribution de 2 charges
IV Dipôle électrostatique
1. Introduction
~e
2. Actions subies par un dipôle dans un champ extérieur E
2.a.
Cas d’un champ extérieur uniforme
2.b.
Cas d’un champ non uniforme
Lycée F.Arago - Reims