Chapitre 8 : Racines carrées 1 1. Premier problème Existe-t-il un nombre dont le carré est 2? Si oui ce nombre est-il décimal? Rationnel? 2. Résolution 2.1 Existence On se place dans le cadre géométrique. Hypothèses : • ABC est un triangle rectangle en A. • AB = AC = 1 ABC étant rectangle en A, on a d'après le théorème de Pythagore : BC2 = AB2 +AC2 BC2 = 2 Conclusion : La mesure de la longueur BC est un nombre positif dont le carré est 2. On admettra qu'il existe un unique nombre positif dont le carré est 2. Notation : On notera √ 2 le nombre positif dont le carré est 2. 2.2 Démontrons que √ 2 n'est pas un nombre décimal Soit d un nombre décimal. Le dernier chiffre non nul de l'écriture décimale de d est 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6 ou 7 ou 8 ou 9. d2 est aussi un nombre décimal (c'est le produit de deux nombres décimaux). On a alors le tableau suivant : Dernier chiffre de l' écriture décimale de d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Dernier chiffre de l' écriture décimale de d2 1 4 9 6 5 6 9 4 1 Le dernier chiffre de l'écriture décimale de d2 n'est donc ni 2 ni 0, qui sont les seules possibilités pour l'écriture décimale de 2. Donc d ne peut pas être égal à Conclusion : √2 . √ 2 n'est pas un nombre décimal. Remarque: Avec la calculatrice, on obtient : √ 2≈1,414 par arrondi au millième. Mais 1,414 n’est qu’une valeur approchée décimale de √2 . 3. Second problème 1. L'affirmation suivante est-elle vraie? Affirmation : Pour tout nombre a, l'équation x2 = a possède deux solutions. 2. Peut-on définir la racine carrée de n'importe quel nombre? a= 4 Léquation x2 = 4 possède deux solutions 2 et -2. a=0 L'équation x2 = 0 admet une unique solution 0. a = -4 Le carré d'un nombre réel est positif donc l'équation x2 = -4 n'a pas de solution réelle. L'affirmation est donc fausse. 4. Racine carrée d’un nombre positif 4.1 Préliminaire Soit a un nombre, alors : a² = a×a est le produit de deux nombres de même signe, c’est donc un nombre positif. On vient de démontrer la propriété suivante : Propriété : Le carré d’un nombre réel est positif. On admet la propriété suivante : Propriété : Pour tout nombre strictement positif a, il existe deux nombres opposés l’un de l’autre dont le carré est a. Exemple : 16 = 4² = (-4)² ; () ( ) 16 4 2 4 = =− 25 5 5 2 Remarque : Le seul nombre dont le carré soit égal à 0 est 0. 4.2 Définition Définition : Soit a un nombre positif, on appelle racine carrée de a le nombre positif dont le carré est a. √ On le note : a . Autrement dit : a est l’unique nombre tel que : Exemples : √ 36 = 6 ; √ 0,09 = 0,3 ; √ 0 = 0 ; Vocabulaire : √ est appelé le radical. √ 2 √ a⩾0 et ( √ a ) =a 16 4 = 25 5 5. Equations du type « x²=a » 5.1 Etude de l’équation « x² = a » Soit a un nombre, on désire résoudre l’équation x² = a. Premier cas : a est strictement négatif. Le carré d’un nombre réel étant toujours positif, on en déduit que l’équation x² = a n’a pas de solution. Deuxième cas : a est strictement positif. D’après une propriété du paragraphe 4, l’équation x² = a a deux solutions Troisième cas : a = 0. Le seul nombre dont le carré soit 0 est 0. 5.2 Enoncé du théorème On vient de démontrer partiellement le théorème suivant : Théorème : Soit a un nombre. Si a > 0, l’équation x² = a deux solutions : √ a et – √ a . Si a = 0, l’équation x² = 0 a une unique solution : 0. Si a < 0, l’équation x² = a n’a pas de solution. √a et – √ a . 6. Etude de √a 2 6.1 Problème L' affirmation suivante est-elle vraies? Affirmation : Pour tout nombre a, √a 2 existe et est égal à a. 6.2 Expérimentation √ √ • Pour a = 12, on a : a 2= 122 =12 • Pour a - -12, on a : √ a =√ (−12) =12 2 2 6.3 Conjecture Il semble que : √a • Pour tout nombre a, • Pour tout nombre positif a, on ait : • 2 existe. √ a =a . Pour tout nombre négatif a, on ait : √ a =−a . 2 2 6.4 Démonstration • Pour tout nombre a, a2 est un nombre positif. Donc • 2 existe. Si a est positif, alors a est le nombre positif dont le carré est a², d’après la définition, on a : √a • √a 2 = a. Si a est négatif, alors – a (l’opposé de a) est le nombre positif dont la carré est a², d’après la définition , on a : √a 2 =-a 6.5 Enoncé de la propriété On vient de démontrer la propriété suivante : Propriété: • Pour tout nombre positif a, on a : • Pour tout nombre négatif a, on a : Autrement dit : Pour tout nombre a, √a √a √a = a. 2 2 2 = - a. est égal à la valeur absolue de a.