Applications linéaires

Applications linéaires
Définition :
Soient E et F deux K-espaces vectoriels, et soit f : E → F une application. On dit que f est K-linéaire si et seulement
si
∀(u, v) ∈ E 2 , ∀(λ, µ) ∈ K2 , f (λu + µv) = λf (u) + µf (v).
Exemple :
1. avec E = F = R et K = R, f est linéaire si et seulement si il existe k réel tel que f (x) = kx. La fonction définie par
f (x) = x2 n’est pas linéaire.
2. La fonction f : R3 → R2 définie par f (x, y, z) = (3x2 + z, y + z) n’est pas linéaire.
3. La fonction f : R3 → R2 définie par f (x, y, z) = (3x + z, y + z) est linéaire.
4. La fonction f : K[X] → K[X] définie par f (P ) = P 0 où P 0 est le polynôme dérivée de P est linéaire.
Théorème :
les images et les images réciproques de sous espaces vectoriels par une application linéaire sont des sous espaces vectoriels.
Autrement dit
1. Quelque soit A un sous espace vectoriel de E alors f (A) = {y ∈ F, ∃x ∈ A, f (x) = y} est un sous espace vectoriel
de F .
2. Quelque soit B un sous espace vectoriel de F alors f −1 (B) = {x ∈ E f (x) ∈ B} est un sous espace vectoriel de F .
(Attention ici l’utilisation du symbole f −1 ne signifie pas que f est bijective. La notation f −1 (B) désigne l’image
réciproque de l’ensemble B par l’application f , elle est bien définie pour toute application f : E → F même non
linéaire, et ici on affirme que si f est linéaire et B un sous espace vectoriel alors l’image réciproque de B est un sous
espace vectoriel de E).
Preuve : on prend w1 et w2 dans f (A), puis λ et µ dans K, par définition on trouve u1 et u2 dans E tels que f (u1 ) = w1
et f (u2 ) = w2 . Alors λw1 + µw2 = λf (u1 ) + µf (u2 ) = f (λu1 + µu2 ) prouve que λw1 + µw2 appartient à f (A) et donc
f (A) est un sous ensemble de F qui est stable par combinaison linéaire et donc f (A) est un sous espace vectoriel. De la
même manière soient u1 et u2 dans f −1 (B) alors w1 = f (u1 ) et w2 = f (u2 ) appartiennent à B, qui est un (sous) espace
vectoriel et donc λw2 + µw2 appartient aussi à B, et donc λu1 + µu2 vérifie que f (λu1 + µu2 ) = λw2 + µw2 ∈ B , et donc
λu1 + µu2 appartient à f −1 (B) et donc f −1 (B) qui est un sous ensemble de l’espace vectoriel E est stable par combinaison
linéaire, et donc f −1 (B) est un sous espace vectoriel de E.
Exemple La fonction f (x, y, z) = (x, y, y 2 ) transforme le plan d’équation z = 0 en une gouttière infinie non plane. Ce
n’est pas une application linéaire. Par contre la fonction g(x, y, z) = (x, y, y) qui est linéaire transforme le plan d’équation
z = 0 en le plan d’équation y = z. Faire des dessins.
Définition :
Soient E et F deux K-espaces vectoriels, et soit f : E → F une application linéaire.
1. On appelle image de f le sous espace vectoriel f (E) (sous espace vectoriel de F ) que l’on note =m(f ).
2. On appelle noyau de f le sous espace vectoriel f −1 ({0F }) (c’est un sous espace vectoriel de E ) que l’on note Ker(f ).
√ , x+y
√ , 0) Faire un dessin.
Exemple 1): f (x, y) = ( x+y
2
2
Exemple :2)f (x, y) = (y, 0). Faire un dessin. Ici l’espace de départ E et l’espace d’arrivée F sont les mêmes et l’image
et le noyau sont confondus ! Ce qui montre que si f est un endomorphisme (ce qui signifie que f est linéaire de E dans
F = E), il est faux, a priori, que E = =m(f ) ⊕ Ker(f), cela peut-être vrai ou non.
Proposition :
Soient E et F deux K-espaces vectoriels, et soit f : E → F une application linéaire.
1. f est injective si et seulement si Ker(f ) = {0E },
2. f est surjective si et seulement si =m(f ) = F .
Preuve : . . .
1
Théorème :
Soient E et F deux K-espaces vectoriels, et soit f : E → F une application linéaire. Si E est de dimension finie, F de
dimension finie ou non, alors
dim(Ker(f )) + dim(=m(f )) = dim(E).
Preuve : Soit k = dim(Ker(f )), et (e1 , e2 , . . . ek ) une base de Ker(f ) (tout cela est dans E). Soit l = dim(=m(f ))
et (w1 , w2 , . . . , wl ) une base de (=m(f ) (tout cela est dans F ). Comme wi est dans f (E), il existe ui dans E tel que
f (ui ) = wi pour i = 1, . . . , l. Posons B = (e1 , e2 , . . . ek , u1 , u2 , . . . , ul ). Montrons que B est une famille libre. Soient donc
λ1 e1 + · · · + λk ek + µ1 u1 + · · · + λl ul = 0
{z
}
|
{z
}
(λ1 , λ2 , . . . λk , µ1 , . . . µl ) tels que |
. Alors f (e + u) = 0 = f (e) + f (u) = f (u)
e
u
parce que e est dans le noyau de f . Mais f (u) = f (µ1 u1 + · · · + λl ul ) = µ1 f (u1 ) + · · · + λl f (ul ) = µ1 w1 + · · · + λl wl = 0
et comme (w1 , w2 , . . . , wl ) est une base de =m(f ), nous en déduisons que µ1 = · · · = µl = 0. D’où u = 0 et il reste
λ1 e1 + · · · + λk ek = 0 et comme (e1 , e2 , . . . ek ) est une base de Ker(f ), nous en déduisons que λ1 = · · · = λl = 0. B est
donc libre.
Montrons que B est génératrice de E. Pour cela prenons u ∈ E. Comme v = f (u) est dans =m(f ) il existe µ1 , . . . , µl
tels que v = µ1 w1 + · · · + λl wl . Alors e = u − (µ1 u1 + · · · + λl ul ) vérifie f (e) = 0 et donc e est dans le noyau et donc
il existe λ1 , . . . , λk tels que e = λ1 e1 + · · · + λk ek et finalement u = λ1 e1 + · · · + λk ek + µ1 u1 + · · · + λl ul et donc B est
génératrice. Donc B est une base de E. Donc k + l = dim E = dim(Ker(f )) + dim(=m(f )).
Attention en dimension infinie, un phénomène hors programme.
Prenons F = E = K[X] et f : P → P 0 , puis G le sous espace de E des polynômes P vérifiant P (0) = 0. Alors G $ E
et si P ∈ G alors P (X) = a0 + a1 X + · · · + an X n avec a0 = 0 et donc f (P (X)) = P 0 (X) = a1 + 2a2 X + · · · + nan X n−1
et donc f (G) = E et donc en considérant la restriction de f à G on obtient f : G → E linéaire avec G $ E et donc f
”grosssit” le sous espace de départ. Ce phénomène est impossible en dimension finie et toute la suite du cours en dépend.
Pour toute l’ue mat231 l’espace de départ est de dimension finie.
Matrices et applications linéaires.
A partir de maintenant nous supposerons que E et F sont de dimensions finies.
Définition :
Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimensions n et m, et A : E → F une application linéaire. Soient
B = {e1 , e2 , . . . , en } une base de E et F = {f1 , f2 , . . . fm } une base de F . On appelle matrice représentant A relativement
aux bases B et F , le tableau rectangle de n.m éléments de K ayant n colonnes et m lignes, de sorte que la rème colonne
de la matrice soit constituée des m composantes de A(er ) dans la base F.
Notations :
En notant par aij les éléments de la matrice, i désignant la ligne et j la colonne de l’élément, on écrit


a11
a12 · · · · · · · · · a1n


a21
a22
a2n




..
.
.
.
.

.
.
.
.
A=



.
..
..
..


.
.
am1
· · · · · · · · · · · · amn
↑
↑
↑
A(e1 )
A(e2 )
A(en )
Proposition.



Si u ∈ E se décompose dans la base B, en u = u1 e1 + · · · + un en , alors en effectuant le produit matriciel A 


n
X
a1j uj

 j=1
 n
 X

a2j uj

 j=1


..

 n .
 X

amj uj

u1
u2
..
.



=

un






, on obtient une colonne contenant les composantes de f (u) dans la base F.






j=1
dans la rème colonne de la matrice les composantes
de A(er ) on sait 
que A(e
r) =


u1

 u2  






 .. 




 et donc A(u) = A(u1 e1 + · · · + un en ) = A  e1 e2 · · · en  . 
 =





.
k=1

 .. 
amr
un




u1
u1
 u2 
 u2 




 .. 
 .. 



u1 A(e1 ) + · · · + un A(en ) = A(e1 ) A(e2 ) · · · A(en )  . = f1 f2 · · · fm A  . 
.
 . 
 . 
 .. 
 .. 
un
un
Dans cette preuve on utilise une matrice ayant une ligne et n colonnes contenant non pas des scalaires (éléments de K)
mais des vecteurs de E , et une matrice ayant une ligne et m colonnes contenant non pas des scalaires (éléments de
K) mais des vecteurs de F . Il s’agit
d’écriture qui simplifie la manipulation. On écrit
uniquement d’une commodité
que A(e1 ) A(e2 ) · · · A(en ) = f1 f2 · · · fm A ce qui est autre écriture de ∀r ∈ {1, 2, · · · , n} , A(er ) =


u1
 u2 


m
X
 .. 

akr fk . Et dans la dernière expression f1 f2 · · · fm A  . 
, on reconnaît la décomposition de A(u) dans
 . 
k=1
.
 . 
un
la base F.
Preuve : comme on a disposé

a1r
m
 a2r
X

akr fk = (f1 , f2 , . . . , fm )  .
 ..
Changement de bases.
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n, et deux bases B ={e1 , e2 , . . . , en } et B̃ = {ẽ1 , ẽ2 , · · · , ẽn }. Décidons de
nommer B, l’ancienne base et B̃ la nouvelle base. On cherche à relier les composantes d’un vecteur quelconque u dans
la base B aux composantes de ce même vecteur dans B̃. Pour cela on définit la matrice de passage d’une base à l’autre
en utilisant la démarche précédente avec F = E et A étant l’identité. Pour ne pas créer plus de confusions, nous allons
répéter ce qui est déja fait dans ce cadre particulier.
Définition :
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n, et deux bases B = {e1 , e2 , . . . , en } et B̃ = {ẽ1 , ẽ2 , · · · , ẽn }, on appelle PB→B̃ ,
matrice de passage de l’ancienne base B à la nouvelle base B̃, la matrice carrée ayant n lignes et n colonnes, obtenue en
plaçant dans les colonnes de P , les composantes des nouveaux vecteurs exprimées dans l’ancienne base.


p11
p12 · · · · · · · · · p1n

p21
p22
p2n 



.. 
..
.
.

.
. 
.
PB→B̃ = 
.


..
.
.
..
.. 

.
pn1
· · · · · · · · · · · · pnn
↑
↑
↑
ẽ1
ẽ2
ẽn
Proposition :
1. La matrice de passage de l’ancienne base à la nouvelle permet de calculer les anciennes composantes d’un vecteur
en fonction des nouvelles, c’est à dire que si u = x1 e1 + x2 e2 + · · · + xn en et u = x̃1 ẽ1 + x̃2 ẽ2 + · · · + x̃n ẽn alors avec
P la matrice de passage de B à B̃.




x̃1
x1
 x̃2 
 x2 




 . 
 .. 
 .  = P  ..  .




 . 
 . 
 .. 
 .. 
x̃n
xn
Preuve :

u=
e1
e2
...
...
en







x1
x2
..
.
..
.
xn




=




ẽ1
ẽ2
...
...
ẽn



P







Comme la décomposition de u dans B̃ est unique, on obtient bien P 



x̃1
x̃2
..
.
..
.
x̃n
x1
x2
..
.
..
.
xn






=




 
 
 
=
 
 
 
ẽ1
x1
x2
..
.
..
.
xn
ẽ2
...
...
ẽn







x̃1
x̃2
..
.
..
.
x̃n




.



2. Comme P représente l’identité qui est bijective, la matrice P est inversible, et la matrice inverse P −1 est constituée
des composantes des vecteurs de B̃ exprimés dans B, disposées en colonne.
Théorème.
Soient E et F deux K-espaces vectoriels, et soit A : E → F une application linéaire. On considère B et B̃ deux bases de
E, et F et F̃ deux bases de F . Soient A la matrice représentant A dans les bases B et F, et soit à la matrice représentant
A dans les bases B̃ et F̃, alors
ÃB̃,F̃ = PF̃ →F .AB,F .PB→B̃ .
Preuve :
v = A(u)
s’écrit








v1
v2
..
.
..
.
vm








 = A






u1
u2
..
.
..
.
un












.



une fois les bases B de E et F de F choisies. Multiplions à gauche par

f1
f2
···
···
fm







v1
v2
..
.
..
.
vm





=



f1
f2
···
···

=
f˜1
f˜2
...
...
f˜n



PF̃→F APB→B̃ 



fm
ũ1
ũ2
..
.
..
.
ũn



A



f1
u1
u2
..
.
..
.
un
f2
···
···
fm




=




f1
f2
···
···





=



f˜1
f˜2
...
...
f˜n



à 



fm
ũ1
ũ2
..
.
..
.
ũn



APB→B̃ 



ũ1
ũ2
..
.
..
.
ũn








et donc
ÃB̃,F̃ = PF̃ →F .AB,F .PB→B̃ .

ũ1
ũ1
 ũ2 
 ũ2 




 .. 
 .. 



en identifiant PF̃→F APB→B̃  .  et à  . 
 comme deux expressions des composantes du même vecteur v dans la
 . 
 . 
 .. 
 .. 
ũn
ũn


ũ1
 ũ2 


 .. 
 on a bien démontré la formule demandée.
.
base F̃. Comme cela a lieu quelque soit la colonne 


 . 
 .. 
ũn



Changement de base, cas d’un endomorphisme.
Soit E un K-espace vectoriel et A : E → E une application linéaire de E dans E, puis B et B̃ deux bases de E. Alors la
matrice A qui représente A relativement à la base B , et la matrice à qui représente A relativement à la base B̃ vérifient
à = P −1 .A.P
où P est la matrice de passage de la base B à la base B̃.
Preuve : on applique le théorème précédent avec F = E, . . . .
5







