Table des mati`eres

Correction de l’examen d’Algèbre de base,
SYM0400, du 11 Mai 2005
Table des matières
1 Exercice 1
1.1 Solution de la question 1, i) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Solution de la question 1, ii) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Solution de la question 1, iii) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
3
2 Correction de l’exercice 2
2.1 Solution de la question 2, i) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Solution de la question 2, ii) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Solution de la question 2, iii) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Solution de la question 2, iv) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Solution de la question 2, v) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Première méthode avec la relation de Bezout . . . . .
2.5.2 Deuxième méthode : la multiplication dans Z/13Z . .
2.6 Solution de la question 2, vi, a) . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Solution de la question 2, vi, b) . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
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.
3
3
3
4
4
4
4
4
5
5
3 Correction de l’exercice 3
3.1 Solution de la question 3, i) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Solution de la question 3, ii) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Solution de la question 3, iii) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
6
6
4 Le sujet
7
1
1
Exercice 1
1.1
Solution de la question 1, i)
On fait la division successive par les nombres premiers 2, 3, 5, . . .
en répétant l’opération si c’est possible.
1872
936
468
234
117
39
13
1
2
2
2
2
3
3
13
2184
1092
546
273
91
13
1
2
2
2
3
7
13
On en déduit que
1872 = 24 × 32 × 13 et que 2184 = 23 × 3 × 7 × 13 .
1.2
Solution de la question 1, ii)
Le pgcd est donné par le produit des facteurs premiers communs aux deux
nombres, chaque facteur premier étant élévé à la puissance la plus petite :
pgcd(1872, 2184) = pgcd(24 ×32 ×13, 23 ×3×7×13) = 23 ×3×13 = 312 .
Le ppcm est donné par le produit de chacun des facteurs premiers des
deux nombres, chaque facteur étant élévé à la puissance la plus grande :
ppcm(1872, 2184) = ppcm(24 ×32 ×13, 23 ×3×7×13) = 24 ×32 ×7×13 = 13104 .
Vérification (et deuxième méthode)
Calcul du pgcd par l’algorithme d’Euclide.
2184 = 1 × 1872 + 312
1872 = 6 × 312
⇒
⇒
pgcd(2184, 1872) = pgcd(1872, 312)
pgcd(1872, 312) = 312 .
Au bout du compte, on trouve que
pgcd(2184, 1872) = pgcd(1872, 312) = 312 .
Calcul du ppcm connaissant le pgcd.
On utilise la formule m × n = pgcd(m, n) × ppcm(m, n) ,
pour deux entiers positifs m et n .
On trouve alors que ppcm(1872, 2184) = 1872 × 2184/312 = 13104 .
2
1.3
Solution de la question 1, iii)
Si p et q sont deux entiers positifs, pour qu’il existe un couple d’entiers
(i, j) tel que pgcd(i, j) = p et ppcm(i, j) = q ,
il faut et il suffit que p divise q .
Dans notre cas p = 13 et q = 78 = 6 × 13 :
la condition est bien satisfaite.
On décompose les deux nombres en facteurs premiers,
13 = 13
78 = 2 × 3 × 13 .
De là, on trouve que les couples (i, j) d’entiers positifs vérifiant
i ≤j,
pgcd(i, j) = 13 et ppcm(i, j) = 78
sont (i, j) = (13, 2 × 3 × 13) = (13, 78)
et (i, j) = (2 × 13, 3 × 13) = (26, 39) .
2
2.1
Correction de l’exercice 2
Solution de la question 2, i)
On applique le teste d’Euclide pour montrer que 139
est un nombre premier.
Théorème d’Euclide. Un entier positif n est premier si et seulement si
il n’est pas divisible par aucun nombre premier p tel que p2 ≤ n .
On effectue les divisions successives de 139 par la suite croissante des
nombres premiers et on arrête dès que le quotient est plus petit que le diviseur, (ou quand le reste est nul : dans ce cas le nombre n’est pas premier).
139 = 2 × 69 + 1 ,
139 = 7 × 19 + 6 ,
139 = 3 × 46 + 1 ,
139 = 5 × 27 + 4 ,
139 = 11 × 12 + 7 ,
139 = 13 × 10 + 9 .
On√en déduit que 139 est un nombre premier, car les nombres premiers
≤ 139 sont {2, 3, 5, 7, 11} et aucun d’eux ne divise 139 .
2.2
Solution de la question 2, ii)
On utilise la relation de Bezout :
Théorème de Bezout. Deux entiers m et n sont premiers entre eux si
et seulement si ∃ (x, y) ∈ Z2 tel que mx + ny = 1 .
Ici m = 139 et n = 26 . Comme 139 est un nombre premier et
que 0 < 26 < 139 , les nombres 139 et 26 sont premiers entre eux. La
relation de Bezout implique alors qu’il existe deux entiers relatifs x et y
tels que 139x + 26y = 1 .
3
2.3
Solution de la question 2, iii)
On teste, dans
√ la suite croissante des nombres premiers,
celui qui est ≤ 1807 et qui divise 1807 .
Le premier nombre premier à diviser 1807 est 13 :
1807 = 13 × 139 , 1807 n’est donc pas un nombre premier.
2.4
Solution de la question 2, iv)
La décomposition en facteurs premiers de 1807 est
1807 = 13 × 139 et celle de 26 est 26 = 2 × 13 ,
par conséquent pgcd(1807, 26) = 13 :
les deux nombres 1807 et 26 ne sont pas premiers entre eux. Le théorème
de Bezout vu dans la question 2, ii) implique alors que l’équation
1807x + 26y = 1
n’a pas de solutions (x, y) ∈ Z2 .
2.5
2.5.1
Solution de la question 2, v)
Première méthode avec la relation de Bezout
Comme 13 est un nombre premier et que 0 < 6 < 13 , les deux
nombres 6 et 13 sont premiers entre eux, la relation de Bezout utilisée dans
la question 2, ii) dit alors qu’il existe (a, b) ∈ Z2 tel que 6a + 13b = 1 .
On en déduit que, pour tout entier i , i = i(6a + 13b) ,
ce qui signifie que i = 6x + 13k avec x = ai et k = bi qui sont deux
entiers, et donc il existe bien x ∈ Z tel que 6x ≡ i (mod 13) .
Cherchons maintenant x quand i = 8 .
On peut chercher le couple de Bezout (a, b) en appliquant l’algorithme
d’Euclide pour vérifier que 6 et 13 sont premiers entre eux :
13 = 2 × 6 + 1
⇔
−2 × 6 + 13 = 1 ,
(le couple de Bezout associé à (6, 13) est (a, b) = (−2, 1) ) .
De là on trouve que pour tout entier i , x = −2i ∈ Z vérifie
6x ≡ i (mod 13) ,
( 6x = i − 13i ) .
Par conséquent 6 × (−16) ≡ 8 (mod 13) .
On peut ajouter à −16 , 26 qui est un multiple de 13 , et on a aussi
6 × 10 ≡ 8 (mod 13) .
2.5.2
Deuxième méthode : la multiplication dans Z/13Z .
Pour tout entier j on note [j]13 sa classe d’équivalence modulo 13 :
[j]13 = j + 13Z .
D’après le cours, comme 13 est un nombre premier,
pour tout [j]13 ∈ Z/13Z , [j]13 6= [0]13 ,
il existe [kj ]13 ∈ Z/13Z tel que [j × kj ]13 = [1]13 ,
4
on en déduit qu’il existe k6 ∈ Z tel que 6k6 ≡ 1 (mod 13) ;
par conséquent, pour tout i ∈ Z ,
6x ≡ i (mod 13) avec x = i × k6 ∈ Z .
Recherchons x quand i = 8 .
On effectue les multiplications par [6]13 dans Z/13Z :
6 × 2 ≡ 12 (mod 13) ,
6 × 3 ≡ 5 (mod 13) ,
6 × 4 ≡ 11 (mod 13) ,
6 × 5 ≡ 4 (mod 13) ,
comme 2 × 4 = 8 , on en déduit que 6 × (2 × 5) ≡ 8 (mod 13) :
6 × 10 ≡ 8 (mod 13) .
(Si on avait effectué la table de multiplication dans Z/13Z , on aurait trouvé
que 6 × 11 ≡ 1 (mod 13) : [k6 ]13 = [11]13 ) .
2.6
Solution de la question 2, vi, a)
Comme p est un nombre premier, 2 < p implique que p est impair :
p = 2k + 1 avec k ∈ N .
Comme il existe i ∈ {0, 1, 2, 3} tel que i ≡ p (mod 4) ,
seul i ∈ {1, 3} peut convenir, car m pair et m ≡ n (mod 4) implique
que n est aussi pair.
On en déduit que p2 ≡ i2 , or i ∈ {1, 3} ,
comme 12 = 1 et 32 = 9 ≡ 1 (mod 4) ,
dans tous les cas de figure, on trouve que
p2 ≡ i2 ≡ 1 (mod 4) .
2.7
Solution de la question 2, vi, b)
On a vu dans la question précédente que p est impair. Or
∃! j ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} tel que p ≡ j (mod 8) ,
cet entier j est forcement impair (car s’il était pair, p le serait aussi, ce
qui n’est pas le cas) :
∃! j ∈ {1, 3, 5, 7} tel que p ≡ j (mod 8) .
On en déduit que p2 ≡ j 2 (mod 8) avec j 2 ∈ {1, 9, 25, 49} .
Or 49 ≡ 25 ≡ 9 ≡ 1 (mod 8) , d’où p2 ≡ 1 (mod 8) .
3
3.1
Correction de l’exercice 3
Solution de la question 3, i)
Un entier j est tel que j soit inversible dans Z/14Z si et seulement
si les deux entiers j et 14 sont premiers entre eux.
5
3.2
Solution de la question 3, ii)
On sait que Z/14Z a 14 éléments :
Z/14Z = {0, 1, 2, . . . , 12, 13} .
Les entiers j tels que 0 < j < 14 et qui sont premiers avec 14 sont
{1, 3, 5, 9, 11, 13} ;
par conséquent, l’ensemble des éléments inversibles de Z/14Z sont
U14 = {1, 3, 5, 9, 11, 13} .
3.3
Solution de la question 3, iii)
+ L’inverse de 1 est 1 , par définition.
+ Comme 3 × 5 = 15 = 1 + 14 , 3 × 5 ≡ 1 (mod 14) ,
l’inverse de 3 est 5 , on en déduit que l’inverse de 5 est 3 .
+ Comme 9 × 11 = 99 = 1 + 7 × 14 , 9 × 11 ≡ 1 (mod14) ,
l’inverse de 9 est 11 , on en déduit que l’inverse de 11 est 9 .
+ Comme 13 × 13 = 169 = 1 + 12 × 14 , 13 × 13 ≡ 1 (mod 14) ,
l’inverse de 13 est 13 .
6
4
Le sujet
LICENCE 2004/2005 de l’UNIVESITE de NANTES
SYM0400 , ALGEBRE de BASE
Examen du 11 Mai 2005
Durée 1H30.
Sans documents ni calculatrice.
Les trois exercices sont indépendants. Toute réponse doit être justifiée par
un raisonnement et les étapes des calculs doivent être apparents.
Exercice 1. ”PGCD et PPCM.”
1, i). Décomposer en facteurs premiers les deux entiers 1872, 2184 .
1, ii). Trouver pgcd(1872, 2184) et ppcm(1872, 2184) .
1, iii). Trouver tous le couples d’entiers positifs (i, j) avec i < j , tel que
pgcd (i, j) = 13 et ppcm (i, j) = 78 .
Exercice 2. ”Nombres premiers.”
2, i). Prouver que l’entier 139 est premier.
2, ii). L’équation d’inconnues (x, y) , 139x + 26y = 1 ,
a-t-elle une solution (x, y) ∈ Z2 ?
2, iii). Prouver que l’entier 1807 n’est pas premier.
2, iv). Prouver que l’équation d’inconnues (x, y) , 1807x + 26y = 1 ,
n’a pas de solution (x, y) ∈ Z2 .
2, v). Montrer que, pour tout entier i , 0 < i < 13 ,
l’équation d’inconnue x ∈ Z , 6x ≡ i (mod 13) a une solution.
Trouver la forme générale des solutions quand i = 8 .
2, vi). Soit p ∈ N , p > 2 , un entier premier.
2, vi, a). Justifier que p ≡ 1 (mod 4) ou p ≡ 3 (mod 4) .
En déduire que p2 ≡ 1 (mod 4) .
2, vi, b). Montrer que p ≡ j (mod 8) où j ∈ {1, 3, 5, 7} .
En déduire que p2 ≡ 1 (mod 8) .
Exercice 3. ”La multiplication dans Z/14Z.”
Les éléments de Z/14Z seront notés
j
ou (j)14
ou [j]14 ,
( j ∈ Z et j = j + 14Z ) .
3, i). Rappeler la condition nécessaire et suffisante pour que
j ∈ Z/14Z soit inversible.
3, ii). Trouver l’ensemble U14 de tous les éléments inversibles de Z/14Z .
3, iii). Pour chaque élément de U14 donner son inverse.
7