Exercices d`Algèbre 3 Bernd Ammann, 2005–2006 Feuille 13 10

Exercices d’Algèbre 3
Bernd Ammann, 2005–2006
Feuille 13
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10 décembre 2005
Soit G un groupe d’ordre n, et soient H1 et H2 deux sous-groupes d’ordre k1 et k2 . Supposons
que H1 ∩ H2 = {e}.
(a) Montrer que ppcm(k1 , k2 ) divise n.
(b) Montrer que pour tout g ∈ G, l’ensemble H1 ∩ gH2 contient au plus un élément.
(c) En conclure que n ≥ k1 k2 .
(d) Montrer que k1 k2 divise n si G est commutatif.
(e) Donner un exemple (avec G non commutatif) tel que k1 k2 ne divise pas n.
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Soient G un groupe fini et H et K deux sous-groupes de G.
(a) Supposons que H est distingué dans G, et que pgcd([G : H], ord(K)) = 1. Alors K est
un sous-groupe de H.
(b) Donner un exemple qui montre que cette conclusion n’est pas vrai sans la condition “H
est distingué dans G”.
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On définit la fonction d’Euler ϕ : N \ {0} → N \ {0} comme suivant:
Z ∗
si n ≥ 2
ϕ(n) = #
nZ
ϕ(1) = 1
Montrer que
n=
X
ϕ(d)
d|n
pour tout n ∈ N \ {0}.
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Soit A un anneau de caractéristique 2 tel que x3 = x pour tout x ∈ A. Montrer que A est
commutatif.
Soit A un anneau, et a un élément nilpotent, c.à.d. an = 0 pour un n ∈ N \ {0}. Montrer
que si x est inversible et commute avec a, als x − a est inversible et donner son inverse.
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Soit A l’anneau Z[i], et soit p ∈ N, p > 2, p premier. Montrer qu’on a l’équivalence entre
(i) p est réductible dans Z[i],
(ii) il existe x ∈ Z[i] avec |x|2 = p,
(iii) p ≡ 1 mod 4.
(iv) −1 est un carré dans Z/pZ,
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Montrer que les éléments irréductibles dans Z[i] sont
• les nombres premiers p tels que p ≡ 3 mod 4 et leurs associés,
• les éléments z ∈ Z[i] tels que |z|2 = 2,
• les éléments z ∈ Z[i] tels que |z|2 = p où p est un premier, p ≡ 1 mod 4.
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Décomposer 69 + 45i, 8 + 6i, 26 + 65i en facteurs irréductibles dans Z[i].
Décomposer 260 en facteurs irréductibles dans Z[i]. En déduire que 260 est la somme de
deux carrés.
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Calculer les pgcds dans Z[i] suivants: pgcd(14−7i, 2−i), pgcd(26+65i, 34+51i), pgcd(69+
45i, 12 + 18i).
http://www.iecn.u-nancy.fr/∼ammann/alg3