1) Définition et premières propriétés.

Exposé 14 : Nombres décimaux. Applications.
Pré requis :
- Propriétés de ℕ , ℤ ,ℚ , ℝ
- Partie entière : E[x]
- Théorème de convergence sur les suites adjacentes. Séries convergentes
- On rappelle l'existence et l'unicité de l'écriture d'un entier en base 10.
1) Définition et premières propriétés.
Définition : Un nombre décimal d est un nombre réel tel qu'il existe un entier naturel n tel
que d.10n appartienne à ℤ .
On note ID l'ensemble des nombres décimaux.
Propriété : ℤ⊂ID⊂ℚ
Preuve :
Soit x ∈ℤ , x = x.100 donc x ∈ID d'où ℤ⊂ID
Soit d ∈ ID , il existe p ∈ℕ tel que d.10 p∈ ℤ pour un tel p , il existe un
k
k ∈ℤ tel que d.10 p=k ie d = p ∈ℚ d'où ID⊂ℚ .
10
1
∉ ID ( par l'absurde supposons que
3
1
10 p
∈ ID alors il existe un entier p et un entier relatif k tel que
=k donc 10 p=3.k
3
3
Or pour tout p entier , 10p n'est pas un multiple de 3.)
Remarque: ℚ n'est pas inclus dans ID. En effet
Conséquence : d est un nombre décimal si et seulement s'il est de la forme
la forme 2 a . 5a
1
c
où b s'écrit de
b
2
N
Théorème : Tout nombre décimal d s'écrit de manière unique : d =ε ∑k =0
ak
10
k
où N est un
entier naturel :
1. ε =1 si d ≥ 0 et -1 sinon
2. a 0 ∈ℕ
3. ∀ k ∈ℕ , 1k N , a k ∈{0,1 ,... ,9}
Preuve :
Soit d ∈ ID  . ∃n tq d.10 n∈ℕ donc ∃b∈ℕ tq 10 n . d =b=b1 b2 b3 ...b p
(écriture unique en base 10 d'un nombre entier) p ∈ℕ
p
b0 b 1 ... b p =∑k =0 b k 10
p−k
p
=> d =∑ k=0 bk 10 p−k −n
p−n
On pose a 0=∑ k=0 bk 10 p−k− n et pour tout k , a k =b p−n k
Convention d'écriture : Dans la pratique , on adapte la convention d'écriture suivante :
31253
=312,53
2
10
Exemple : 1,234 36,0007 et
5
2
Remarque :
23 230
=
=2,30
10 102
Pour comparer deux nombres décimaux , il faut le même nombre de chiffres après la
virgule :
exemple : 2,17<2,3 car 2,3=2,30 et 2,17<2,30
2,3 et 2,30 sont égaux car 2,3=
–
–
Théorème : ( ID , + , . ) est un anneaux commutatif intègre et unitaire.
Preuve : -( ID, +, .) est un sous anneau de ( ℚ , + , .) :
en effet (ID, +)sous-groupe de ( ℚ , +) car ID non vide ( 1∈ ID et
0∈ ID (neutre +) la différence de 2 décimaux est un décimal (nombre de décimal
valant max(n,n') )
Stabilité par . : a = 10n d et b = 10n' d' alors dd' est décimal car 10n+n'dd'=ab ∈ℤ
Théorème : Soit x un réel. Les suites décimaux (un) et (vn) définies par :
u n=
Preuve
–
–
–
–
1
E [10n . x ]
et v n =u n n sont adjacentes et convergent vers x (pour x ∈ℝ )
n
10
10
Soit x ∈ℝ :
E [10n x ]10n xE [10nx ]1 par déf de E[x]
D'où u n xv n *
10 E [10n x ]10.10n x10  E [10 n x ]1
E [10n x ] [10 n1 x ]
n
n1
⇒10 E [10 x ]E [10 x ]⇔

n
n1
10
10
⇒ u nun 1
D'où (un) est croissante.
E [10n1 x ]10 n1 x10 E [ 10n ]1
n1
n
⇒ E [10 ]10 [10 x]9
n1
n
⇒ E [10 ]110[10 x ]10
⇒ v n1v n
D'où (vn) est décroissante
1
lim v n−u n =lim n =0
10
vn et un sont deux suites adjacentes donc elles convergent vers une limites commune et
de * on déduit :
lim v n=lim −u n=x
Corollaire : ID est dense dans ℝ
Preuve : Pour tout x réel , on est capable de construire une suite de décimaux convergeant
vers x.
Définition : Pour un entier naturel n , (un) ( resp.vn) est appelé valeur décimale approchée par
défaut ( resp. par excès ) de x à 10n près.
ID étant dense dans ℝ cela veut dire que l'on peut approcher tout réel en faisant une erreur
aussi petite que l'on veut.
2) Ecriture décimale d'un nombre réel
On considère x positif dans la suite de l'exposé.
Théorème : La suite (an) définie par :
a0=E[x] et an=E[10nx]-10E.[10n-1x] ∀ n∈ℕ ∗
vérifie les propriétés suivantes :
∗
1) ∀ n∈ℕ ,
2)
10
n
=un −u n−1
∀ k ∈〚1, N 〛 , a k ∈{0,1 , ...,8 ,9}
∞
3)
an
x=∑
n=0
an
10n
Preuve :
1. evident
2. b) E [10n x ]10n x10  E [10 n−1 x]1
⇒ E [10n x ]10.E[10n−1 x ]9
n
n−1
⇒ E [10 x ]−10 E [10 x ]9
De plus , (un) est croissante donc an ≥0
n
∞
ak
an
3. Or ∑ k =u n et lim u n=x d'où x=∑ n
k =0 10
n=0 10
Définition: On obtient ainsi un développement décimal illimité du réel positif x et l'on
commodément x=a0,a1a2a3.......
Remarque :
– On prolonge l'écriture des nombres décimaux aux nombres réels
– Le développement décimal obtenu n'est pas unique
Exemple 1,999... et 2,0000 désigne le même réel.On dit que 1,99.... est l'écriture décimale
impropre de 2.
∞
Théorème : On obtient l'unicité du développement décimal de
x=∑
n=0
an
10n
, où pour tout
n∈ℕ , a n ∈{0,1,2 ,... ,9} en imposant à la suite (an) la condition :
“il n'existe pas d'entier N telque an=9 pour tout n≥N ”.
Preuve :
Lemme : Il existe une unique suite (an) d'entier naturels tq : b
a
a
a
a
1
∀ i∈ℕ , a i ∈{0,1 ,2 ,... ,9} et ∀ n∈ℕ , a o 1 ... nn x a o 1 ... nn  n
10
10
10
10 10
Preuve lemme: existence , les suites un et vn .
m
unicité soit m un entier tq u n= n où m∈ℕ . On a
10
a
a
m
1
n
n
n −1
=a 0 ... n ⇔m=a 0 .10 a 1. 10 ...a n
n
10
10
10
l'unicité de l'écriture des entier en base 10 nous amène une unique solution. Pour
achever la preuve il faut vérifier que les coefficients ai sont les même aux rang n et
n+1. On suppose :
b1
bn1
b1
b n1
1
b0  ... n1 xb0 ... n1  n1
10
10
10
10
10
Puisque :
b n1
b1
bn
b1
bn
1
1
1
 n1  n alors b 0 ... n  xb 0 ... n  n l'unicité au rang
n1
10
10
10
1O
10
10
10 10
n de (a0,a1,a2,...,an) montre que ∀ i∈{0,... , n}, b i=a i
Preuve th :
Soit S l'ensemble des suites (an) vérifiant : ∀∈ℕ ∗ , 0a n9 et « il n'existe pas d'entier N
tq an=9 pour tout n≥N »
L'application f : S ℝ  qui à la suite (an) associe a0,a1a2a3...an est une bijection ( car cette
∞
an
application est bien définie d'après la convergence de la série ∑ n .
n=0 10
Elle est surjective d'après le lemme.
Elle est injective : Soit f((an))=x alors
∞
a1
an
a1
an
9
∀ n∈ℕ , a o ... n  xa o ... n  ∑
10
10
10
10 k=n 1 10 k
∞
∞
∞
9
10−1
1
1
1
=
=
− k= n
comme ∑
∑
∑
k
k
k−1
10 10
k =n1 10
k =n1 10
k =n1 10
an vérifie le lemme précédent et est donc unique.
Définition : Pour un réel x négatif on a l'écriture décimale de -x=a0,a1a2a3..... et on pose
x=-a0,a1a2a3.....
3) Autres applications
a) Non dénombrabilité de IR
Preuve : procédé diagonal : On suppose par l'absurde que IR est dénombrable . On pourrait
alors écrire ℝ  ={x i ,i∈ℕ}
On pose x i= x i ,0 , x i ,1 x i ,2 x i ,3 ... et on créé le réel x= x 0,0 , x 1,1 x 2,2 x 3,3 ... , le nombre x n'est
donc pas dans IR+ ce qui est une contradiction, donc IR n'est pas dénombrable.
b) Algorithme donnant l'écriture décimale d'un rationnel
A l'aide d'une suite de division euclidienne ( c'est ce que l'on fait quand on pose une division
dans IN )
Démonstration :
a
Soit x= ∈ℚ  avec a , b∈ℕ×ℕ ∗
b
r
- a=b.qr avec 0rb⇒ x=q
b
10r=bq1r 1 avec 0r 1b et q1 ∈{0,... ,9} car
–
q1
qn
010r =bq 1r 110b⇒0bq1b−1 et bq110b⇒0q 110 et x=q ... n 
10
10
q1
qn
rn
10r n−1=bqn r n , 0r n b et où
... n 
– Par récurrence : x=q
n avec
10
10 b10
q i ∈{0,1 ,... ,9}∀i ∈ℕ
x=q , q1 q 2 q3 ... est l'écriture décimale illimité de x car (qn) vérifie le lemme du 2)
–
c) Caractérisation des nombres rationnels
Définition : Une suite décimale illimité b0, b 1 b 2 b3 ... est dite périodique s'il existe deux
entiers naturels N et m tous deux supérieurs à 1 tels que ∀ n N , b nm=b n
Théorème : Un nombre réel x est rationnel si et seulement si son écriture décimale illimité est
périodique
Preuve : <= On suppose x réel positif qui a un développement décimal périodique
x=b0, b1 b2 b3 ... b N b N 1 ... b N m b N 1 ... B N m
⇒ y= x−b 0, b1 b2 b3 ...b N −1=10− N−1  . 0,b N b N 1 ... b N m
On peut toujours se ramener à ce cas
10m y=b N b N 1 ... b N m−1 y ⇒10m −1 y=b N b N 1 ... b N m−1 ⇒ y∈ℚ ⇒ x −b0, b 1 b 2 ... b N −1∈ℚ
a
=> Soit x= ∈ℚ  avec a , b∈ℕ×ℕ ∗ Comme r k ∈ [0,b[ , rk ne prend
b
qu'un nombre fini de valeurs et .......... C'est dur !!