Chapitre 27 : Puissances 2

Chapitre 27 : Puissances 2
1. Définition de a1
Par exemple, on souhaite définir 31.
On veut cependant que les propriétés restent vraie.
Par exemple, on doit avoir : 31 × 35 = 35+1 = 36
Mais, on aussi : 3 × 35 = 35+1 = 36
On doit donc nécésseraiment avoir : 31 = 3
D’où la définition suivante :
Définition : Pour tout nombre a, on pose a1 = a
2. Définition de a0
Par exemple, on souhaite définir 30.
On veut cependant que la propriété 1 reste vraie.
Par exemple, on doit avoir : 30 × 35 = 30+1 = 35
On doit donc nécesseraiment avoir : 30 = 1
Définition : Pour tout nombre a non nul, on pose : a0 = 1.
3. Puissance d’exposant négatif
3.1 Définition
Objectif : soient a un nombre non nul et n un nombre entier naturel, on souhaite définir a-n.
On souhaite cependant que les propriétés énoncées dans le paragraphe précédent restent vraies.
En particulier, on doit avoir :
34 4−8 −4
=3 =3 mais on aussi :
38
On doit donc avoir :
3−4 =
34 1
=
38 3 4
1
4
3
Plus généralement, on a la définition suivante :
Définition : Pour tout nombre a non nul et tout nombre entier naturel n, on pose :
a-n =
1
n
a
Exemples :
A=5−2
1
A= 2
5
1
A=
25
B=10−3
1
B= 3
10
1
B=
=0,001
1000
3.2 Propriétés
On admet que les propriétés du chapitre 3 sont également vraies dans le cas d’exposants négatifs :
Théorème Pour tous nombres a et b non nuls et tous nombres entiers relatifs m et n, on a :
an × am = an+m
am
=a m−n
n
a
(ab)n = an × bn
n
( a m ) =a mn
4. Puissances de dix
4.1 Calcul d'une puissance de dix
On admet la propriété suivante :
Propriété
Pour tout nombre strictement positif n, on a :
10 n=1 00...0
⏟
n zéros
et
10−n=0,0...0
⏟1
n zéros
4.2 Produit d'un nombre décimal par une puissance de dix
On admet les propriétés suivantes :
Propriétés
Soit n un nombre entier naturel.
•
Pour calculer le produit d'un nombre décimal par 10n, on déplace la virgule de n rangs vers
la droite.
•
Pour calculer le produit d'un nombre décimal par 10-n, on déplace la virgule de n rangs vers
la gauche.
5. Notation scientifique d'un nombre décimal
On admet la propriété suivante :
Propriété :
Pour tout nombre décimal d, il existe un nombre décimal a et un nombre entier relatif n tel que :
•
La valeur absolue de a soit supérieure à 1 et strictement inférieure à 10.
•
d = a × 10n.
On donne alors la définition suivante :
Définition
Un nombre décimal est écrit en notation scientifique lorsqu'il est écrit sous la forme a × 10n avec :
•
a qui est un nombre décimal dont la valeur absolue est supérieure à 1 et strictement
inférieure à 10.
•
n qui est un nombre entier relatif.