Constructibilité à la règle et au compas 1 Constructions à la règle et

Constructibilité à la règle et au compas
1 Constructions à la règle et au compas
1.1 Définitions
Définition (point constructible) : Soit E un ensemble de points du plan, D E l'ensemble des
droites du plan passant par deux points distincts de E et C E l'ensemble des cercles de centre un
point de E et de rayon la distance entre deux points de E. Un point du plan est dit constructible en
une étape à partir de E s'il est à l'intersection :
de deux droites de D E
de deux cercles de D E
d'une droite de D E et d'un cercle de C E
Définition (point constructible en n étapes) : un point P est dit constructible en n étapes à partir de
E, s'il existe une suite de points P 1,  , P n=P tels que pour tout 1≤i ≤n , P i soit
constructible en une étape à partir de E union P j , ji .
Définition (réel constructible) : avec E contenant deux points d'abscisse (0, 0) et (1, 0), un réel est
constructible ssi le point de coordonnées (x, 0) est constructible.
1.2 Ensemble de nombres constructibles
O, I => repère O, I, J
a+b
a-b
a*b
a/b
 a : les deux triangles rectangles (le petit et le grand dans le cercle) sont semblables (voir les
angles), on a donc a/x = x/1 => a = x2.
Théorème 1 : L'ensemble C des nombres constructibles est un sous-corps de
carrée.
ℝ stable par racine
En effet, C contient 0 et 1, est stable par addition, soustraction, multiplication et division, C est donc
un sous-corps de ℝ . Par ailleurs, ∀ x ∈C ,   x ∈C .
2 Conditions de constructibilité
2.1 Extension de corps
* soit IK un sous-corps de ℝ , un nombre  est algébrique sur IK s'il est racine d'un
polynôme à coefficients dans IK, il est transcendant sinon.
* ex : nombres algébriques dans ℚ i est racine de x2 + 1 = 0, 3 2 est racine de x 3−2=0
* intérêt d'avoir un corps : division euclidienne de polynômes
* si  est algébrique sur IK, il est racine d'un polynôme (irréductible) non nul sur IK de degré
minimum , unique à un facteur multiplicatif près.
Démo unicité : Soit P(  ) ce polynôme et soit P'(  ) un autre polynôme ayant  pour
racine avec deg(P) <= deg(P'). Alors il existe deux polynômes Q et R vérifiant : P' = QP + R, on a
P(  ) = P'(  ) = 0. Donc R(  ) = 0 avec deg(R) < deg(P) => contradiction R entre en
concurrence avec P pour le degré minimum donc R = 0. (si deg(P) = deg(P'), Q est un facteur
multiplicatif).
* Le degré de ce polynôme est le degré de  sur IK.
* Exemples : IK = ℚ et  est solution de x 2−2=0 , on a = 2
Si on ajoute à ℚ tous les éléments de la forme ab× 2 , le nouvel ensemble reste un corps :
2
 2 =2 ,
1/  2= 2/2 ,
plus généralement 1/ ab  2=a−b  2/a2 – 2 b2 
* on note IK[  ] le IK-espace vectoriel engendré par les puissances de  :
q
IK [ x ]={x∣x=∑ p=0 x p  p , q∈ℕ , x p∈ IK }
* Si le degré de  sur IK est d, alors le degré de l'extension se note [IK[  ]:IK] = d.
* Propriétés : si [E:F] = n et [F:G] = m alors [E:G] = [E:F].[F:G] = n*m
exemple [ℚ   2 :ℚ]=2 ;
// ab× 2 : base (1,   2 )
[ℚ   2  3:ℚ   2]=2 // ab×  2a ' b ' × 2× 3
=> [ℚ   2,  3:ℚ]=4 // solution de  x2 – 2 x 2−3=x 4−5x26
engendré par ab× 2a ' × 3b ' × 6
base (1,   2 ,  3 ,  6 )
Théorème :
1. IK [] possède une structure d'anneau
2. si  est algébrique sur IK de degré d , alors IK [] est de dimension finie et est
engendré par la famille {1,  , 2 , ..., d −1 }
3. si  est transcendant sur IK, alors IK [] est de dimension infinie
4. si  est algébrique, alors IK [] est un corps
Démonstration :
1.
immédiat ( a 0a1 1 ... admet un opposé, un élément neutre, est stable par
addition, multiplication + distibutivité)
2.
soit P(  ) = 0, deg(P) = d et x∈IK [] , M ∈IK [ X ] | x=M 
x=M =Q PR 
P=0 ⇒ x=M =R  or deg(R) < d
exemple : = 2
prenons x = 23  24  2 2 23 (on voit que x=105  2 )
x∈IK []
M : 23 x4 x 21 x 3
M  x = x4 x 2 – 25 x10 donc x=5  210
(autre exemple, pour alterner : 52  23  2 24  23
M  x = 4x3 x 2−210x11
=> x=10  211 )
de plus la famille 1, , 2,  , d−1 est libre sinon on aurait une combinaison linéaire
nulle des éléments, or a1 a2∗a3∗2 …=0 signifie qu'il existe un polynôme P(  ) =
a1 a2∗a3∗2 …=0 de degré d-1, ce qui contredit l'hypothèse.
3.
Si la dimension était finie alors , il existerait un polynôme qui annulerait  .
Il faut montrer que x ∈ IK [] admet un inverse. Soit P le polynôme irréductible
minimal de  .
x=M 
P et M sont premiers (deg(M) = d-1, deg(P) = d donc deg(M) < deg(P) or P est irréductible
donc M ne divise pas P).
d'après Bézout, il existe deux polynômes U et V avec MU + PV = 1 (pgcd de P et M).
donc M U P  V =1
M U =1
x U =1 => U est le polynôme cherché
4.
ex :
x=12  2
(autre exemple :
dans
IK [  2]
x=53  2
et
1 2
U  x =−   2
7 7
5 3
U  x = −  2 )
7 7
2.2 Extension quadratique et constructibilité
Lorsque d = 2, on parle d'extension quadratique.

Théorème : si
IK []= IK [  k ]
est algébrique de degré 2, alors il existe un entier k tel que
ex : IK [1 5/2 ]=IK [  5]
si extension de degré 2, alors 
=1 5/2 => ∈ IK [  5]
racine d'un polynôme de degré 2, ex : x 2 x−1=0 ,
et inversement,  5=2  – 1 donc  5∈IK []
Donc extension de degré 2 implique ajout de la racine d'un nombre.
Théorème : Un réel  est constructible ssi il existe une suite
ℝ tels que K 0=ℚ , [ K i : K i −1 ]=2 et ∈ K n
K 0, K 1,  , K n de sous-corps de
Démonstration :
sens si (condition suffisante : si existe emboitement de sous-corps alors ...) : stabilité des
nombres constructibles par racine carré
rem perso : on passe d'un sous-corps à un autre en ajoutant la racine d'une nombre, on a vu que
celle-ci est constructible
sens seulement si (condition nécessaire) : à partir de IK i , on passe à l'étape suivante en
résolvant des équations à coefficients dans IK i ,
équation droite passant par A( a 1 , b1 ) et B( a 2 , b 2 ) :
x −a 1 x −a 2
=0
y−b 1 y−b 2
équation cercle de centre C(a, b) et de rayon la distance entre les points A(a_1, b_1) et
B(a_2, b_2) :
 x−a 2 y – b2= a1 – a 22b1−b2 2
3 cas :
intersection de droites : solution de degré 1, on reste dans IK i
intersection cercle-droite : résolution d'une équation de degré 2 à coeff. dans IK i =>
extension de degré 2.
intersection cercle-cercle : revient à intersection droite – cercle :
DESSIN A FAIRE
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Théorème (Wantzel, 1837) : Tout réel constructible est algébrique sur ℚ de degré 2n.
Découle du théorème précédent car, [ K n :ℚ]=[ K n : K n−1 ]××[K 1 : K 0 ]=2n
Ainsi, tout nombre constructible est racine d'un polynôme de degré une puissance de 2.
Attention, la réciproque de ce théorème est fausse, le polynôme x 4 – x3 /4 par exemple est
irréductible, une racine de ce polynôme permet une extension de degré 4 mais cette racine n'est pas
constructible.
3 Constructions impossibles
•
duplication du cube : construire un cube de volume 2x un cube donné, si coté du cube c =>
c 3=2 donc c=3 2 ne correspond pas à une extension quadratique
•
trisection de l'angle : (facile si angle plat car angle de 60° facile à construire (cos 60 = 0,5)),
impossible dans le cas général car cos 3 =4cos 3 −3cos 
pour 3 =/3 on cherche x=cos /9 , il faut résoudre l'équation 4x 3 – 3x−1/2=0
qui est irréductible, x est algébrique sur ℚ de degré 3 donc non constructible à la règle et
au compas d'après Wantzel.
Rem : si 3 = alors on doit résoudre 4x 3 – 3x1=0 qui est réductible en
2  x−1/22x 2 x−1 donc ½ est une solution.
•
quadrature du cercle : cercle d'aire
 est transcendant sur ℚ .
 r 2 trouver un carré de même aire => coté
r 
or