Exercice n° 1

Formules
trigonométriques
et calcul de
longueurs
En 4ème ….
En 4ème, tu as découvert un nouvel outil appelé « cosinus ».
Cet outil s’utilise uniquement dans ……………………………………..
les triangles rectangles.
Le cosinus d’un angle aigu est égal au rapport :
longueur du côté adjacent à l'angle
cosinus d'un angle aigu =
longueur de l'hypoténuse
Ce rapport ne dépend que de …………………………………….
la mesure de l’angle considéré.
La valeur du cosinus d’un angle est toujours comprise entre ……
0 et ……
1
2
Avant de commencer ….
Dans chaque cas, repasser en couleur l’hypoténuse du triangle rectangle.
Dans chaque cas, repasser en couleur le côté adjacent de l’angle indiqué.
3
J’utilise ma calculatrice ….
Avant d’utiliser la calculatrice, il faut vérifier qu’elle est bien en
mode …………….
degrés
Compléter le tableau suivant.
Les mesures d’angles seront arrondis à 1° près et les valeurs de cosinus
seront arrondis à 0,01 près.
4
Â
34°
58°
82°
88°
60°
26°
cos Aˆ
0,83
0,53
0,14
0,03
0,5
0,9
Activité : préliminaires
OAB est un triangle rectangle en A .
On place un point C sur le segment [OA], puis on trace la perpendiculaire
à (OA) passant par C, elle coupe [OB] en D.
1) Faire une figure à main levée.
5
Activité : préliminaires
2) Que peut-on dire des droites (AB) et (CD) ? Justifier.
On sait que : les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires à une même
droite (OA).
Or si deux droites sont perpendiculaires à une même droite
alors elles sont parallèles entre elles.
Donc (AB) // (CD).
6
Activité : un nouveau rapport
OD DC
=
3) Montrer que :
OB AB
En déduire que : AB = DC
OB OD
Penser à la propriété
de Thalès.
On sait que :
 les points O, C, A sont alignés ainsi que les points O, D, B.
 (AB) // (CD).
D’après la propriété de Thalès, on a :
OC OD CD
=
=
OA OB AB
d’où
OD DC
=
OB AB
On utilise le « produit en croix » : OD  AB = OB  DC
OD×AB
OB×DC
=
On divise les deux membres par OD ×OB :
OD×OB OD×OB
On simplifie : AB = DC
OB OD
7
Activité : sinus
La valeur commune des rapports
la mesure de l’angle
AB
DC
et
OB
OD
ne dépend que de
ˆ
AOB
On l’appelle le sinus de l’angle
ˆ
AOB
Compléter :
ˆ
opposé à l'angle AOB
longueur du côté .....................
ˆ
sin AOB =
l’hypoténuse
longueur de ...........................
8
Activité : un troisième rapport
OC DC
=
4) Montrer que :
OA AB
En déduire que : AB = DC
OA OC
Penser à la propriété
de Thalès.
On sait que :
 les points O, C, A sont alignés ainsi que les points O, D, B.
 (AB) // (CD).
D’après la propriété de Thalès, on a :
OC OD CD
=
=
OA OB AB
d’où
OC DC
=
OA AB
On utilise le « produit en croix » : OC  AB = OA  DC
OC×AB
OA×DC
=
On divise les deux membres par OC × OA :
OC×OA
OC×OA
AB
DC
On simplifie :
=
OA
OC
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Activité : tangente
La valeur commune des rapports
la mesure de l’angle
AB
DC
et
OA
OC
ne dépend que de
ˆ
AOB
On l’appelle la tangente de l’angle
ˆ
AOB
Compléter :
ˆ
longueur
du
côté
.....................
à
l'angle
AOB
opposé
ˆ =
tan AOB
ˆ
longueur du côté .....................
adjacent à l'angle AOB
10
Cours : cosinus d’un angle aigu
Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est égal au rapport :
longueur du côté adjacent à l'angle
longueur de l'hypoténuse
Ce rapport ne dépend que de la mesure de l’angle considéré.
Exemple : Exprimer le cosinus de l’angle indiqué :
AC
.........
ˆ
cos ACB =
BC
.........
11
Cours : sinus d’un angle aigu
Dans un triangle rectangle, le sinus d’un angle aigu est égal au rapport :
longueur du côté opposé à l'angle
longueur de l'hypoténuse
Ce rapport ne dépend que de la mesure de l’angle considéré.
Exemple : Exprimer le sinus de l’angle indiqué :
DE
.........
ˆ
sin DFE =
EF
.........
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Cours : tangente d’un angle aigu
Dans un triangle rectangle, la tangente d’un angle aigu est égal au rapport :
longueur du côté opposé à l'angle
longueur du côté adjacent à l'angle
Ce rapport ne dépend que de la mesure de l’angle considéré.
Exemple : Exprimer la tangente de l’angle indiqué :
GH
.........
ˆ
tan GIH =
GI
.........
13
En résumé
Pour utiliser les formules de trigonométrie, il faut se situer dans
un
triangle rectangle.
…………………………………….
Ces trois rapports ne dépendent que de …………………………………
la mesure de l’angle considéré.
Le cosinus et le sinus d’un angle aigu sont toujours compris entre 0 et 1.
A quoi servent ces formules ?
Ces formules permettent de calculer des longueurs de côtés et des
mesures d’angles dans des triangles rectangles.
Remarque : Dans ce module, nous ne traiteront que des exercices
dans lesquels les formules seront utilisées pour calculer des longueurs
de côtés.
14
En résumé
Pour retenir les 3 rapports, on peut utiliser « la formule » :
Cos
C
Adjacent
A
Hypoténuse
H
Sin
S
Opposé
O
Hypoténuse
H
Tan
T
Opposé
O
Adjacent
A
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Exemple d’application
Exemple :
ˆ = 34°
ABC est un triangle rectangle en B, tel que : BC = 6 cm et BCA
Calculer l’arrondi au mm près de la longueur AB.
Méthode :
 On trace une figure à main levée.
On repasse en couleur les données connues et
celle cherchée.
 Par rapport à l’angle connu, on connait le côté
adjacent et on cherche la longueur du côté opposé.
On va utiliser la formule de la tangente.
Dans le triangle ABC rectangle en B, on a :
ˆ = AB
tan BCA
BC
soit tan 34° =
AB = 6  tan 34°
16
AB
6
Sur la calculatrice, on lit :
4,047051101
AB ≈ 4 cm
Exercices
Entrainons nous
….
17
Exercice 1 : énoncé
Exercice n° 1 :
1) Compléter (donner un arrondi à 10-3 )
(a) Sin 45° ≈ …………
(b) Tan 32° ≈ ……….
(c) Cos 67° ≈ ………...
(d) Sin 30° ≈ ………...
2) Compléter (donner un arrondi au degré près)
ˆ = 0,74 donc A
ˆ  ........
(a) cos A
ˆ = 5,2 donc B
ˆ  ........
(b) tan B
ˆ = 0,6 donc C
ˆ  ........
(c) sin C
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Exercice 1 : question 1
Un arrondi à 10-3
signifie que l’on va arrondir en
conservant 3……… chiffres
après la virgule.
(a) Sin 45° ≈ …………
0,707
(b) Tan 32° ≈ ……….
0,625
La calculatrice affiche 0,707106781
Le chiffre des millièmes est 7, le suivant est 1.
On donne un arrondi par défaut.
La calculatrice affiche 0,624869352
Le chiffre des millièmes est 4, le suivant est 8.
On donne un arrondi par excès.
(c) Cos 67° ≈ ……….
0,391
La calculatrice affiche 0,390731128
Le chiffre des millièmes est 0, le suivant est 1.
On donne un arrondi par excès.
(d) sin 30° = ………..
0,5
La calculatrice affiche 0,5
C’est une valeur exacte.
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Exercice 1 : aide question 2
Un arrondi au degré
signifie que l’on va arrondir en
conservant uniquement la partie
entière.
ˆ = 0,74 donc A
ˆ  ....
(a) cos A
....
42°
Il faut utiliser les touches
2nd et cos ou cos-1 ou arccos
selon les calculatrices.
ˆ = 5,2 donc B
ˆ  ...79°
(b) tan B
.....
Il faut utiliser les touches
2nd et tan ou tan-1 ou arctan
selon les calculatrices.
ˆ = 0,6 donc C
ˆ  ....
(c) sin C
....
37°
20
Il faut utiliser les touches
2nd et sin ou sin-1 ou arcsin
selon les calculatrices.
Exercice 1 : solution
Exercice n° 1 :
1) Compléter (donner un arrondi à 10-3 )
(a) Sin 45° ≈ …………
0,707
(b) Tan 32° ≈ ……….
0,625
(c) Cos 67° ≈ ………...
0,391
(d) sin 30° ≈=………...
0,5
2) Compléter (donner un arrondi au degré près)
ˆ = 0,74 donc A
ˆ  ....
(a) cos A
....
42°
ˆ = 5,2 donc B
ˆ  ...79°
(b) tan B
.....
ˆ = 0,6 donc C
ˆ  ....
37°
(c) sin C
....
21
Exercice 2 : énoncé
Exercice n° 2 :
Dans chacun des cas suivants, préciser la formule de trigonométrie qu’il
faut utiliser, puis écrire le rapport.
22
Exercice 2 : aide et solution triangle ABC
Pour s’aider, nous pouvons
repasser en couleur les
données connues et celle
cherchée.
Par rapport à l’angle connu, nous connaissons la longueur …………………….
de l’hypoténuse
et nous cherchons la longueur ……………………….
du côté opposé.
Nous allons utiliser la formule ……………………
du sinus.
ˆ = AC
sin ABC
BC
23
Exercice 2 : aide et solution triangle DEF
Pour s’aider, nous pouvons
repasser en couleur les
données connues et celle
cherchée.
Par rapport à l’angle connu, nous connaissons la longueur …………………….
du côté opposé
et nous cherchons la longueur ……………………….
de l’hypoténuse.
Nous allons utiliser la formule ……………………
du sinus.
ˆ = DE
sin DFE
EF
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Exercice 2 : aide et solution triangle GHI
Pour s’aider, nous pouvons
repasser en couleur les
données connues et celle
cherchée.
Par rapport à l’angle connu, nous connaissons la longueur …………………….
du côté opposé
et nous cherchons la longueur ……………………….
du côté adjacent.
Nous allons utiliser la formule ……………………
de la tangente.
ˆ = GI
tan GHI
GH
25
Exercice 3 : énoncé
Exercice n° 3 :
CAR est un triangle rectangle en R.
On donne : CA = 8 cm et CÂR = 72°.
Calculer AR. Donner un arrondi au mm près.
26
Exercice 3 : aide
On trace une figure à main levée.
Pour s’aider, on peut repasser en couleur
les données connues et celle cherchée.
Par rapport à l’angle connu, nous connaissons la
longueur ………………………
et nous cherchons
de l’hypoténuse
la longueur ……………………
du côté adjacent.
Nous allons utiliser la formule ……………………
du cosinus.
27
Exercice 3 : solution
Exercice n° 3 :
CAR est un triangle rectangle en R.
On donne : CA = 8 cm et CÂR = 72°.
Calculer AR.
Donner un arrondi au mm près.
Dans le triangle CAR rectangle en R, on a :
AR
ˆ
cos CAR =
AC
AR
cos 72° =
8
AR = 8 cos 72°
AR ≈ 2,5 cm
28
Exercice 4 : énoncé
Exercice n° 4 :
Quelle est la hauteur de l’arbre ? Arrondir le résultat au dixième près.
29
Exercice 4 : aide
CDE est un triangle
rectangle en D.
On peut utiliser les formules
de trigonométrie.
On cherche la
longueur DE.
Par rapport à l’angle connu, on connait la longueur du côté adjacent et on
cherche la longueur du côté opposé.
On va utiliser la formule de la tangente.
30
Exercice 4 : solution
Exercice n° 4 :
Dans le triangle CDE rectangle en D, on a :
DE
ˆ
tan DCE =
DC
DE
tan 30° =
15
DE = 15  tan 30°
DE ≈ 8,7 m
BE = BD + DE ≈ 1,5 + 8,7 = 10,2 m.
La hauteur de l’arbre est environ 10,2 mètres.
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