7 – Introduction aux lois de probabilités continues – Densité de

7 – Introduction aux lois de probabilités continues – Densité de probabilité
Activités d’introduction : On donne ci-dessous quelques exemples pour lesquelles les connaissances acquises sur les lois de
probabilité discrètes (ayant un nombre fini d’issues numériques) sont insuffisantes.
• Un tireur envoie un projectile sur une cible et on appelle X la variable aléatoire prenant pour valeurs la
distance en m entre le centre de la cible et le point d’impact.
La loi de probabilité de X n’est pas discrète, car X peut prendre à priori toute valeur de ................................
• On fait tourner devant un index une roue munie d’une marque et on appelle X la variable aléatoire prenant
pour valeur la mesure en radians de l’angle géométrique entre l’index et la marque.
X peut prendre à priori toute valeur de ................................
• On appelle X la variable aléatoire prenant pour valeur la durée de fonctionnement sans panne d’un téléviseur.
X peut prendre à priori toute valeur dans ................................
Exemple d’univers possédant une infinité d’issues possibles
1 – On appelle E l’ensemble des nombres entiers de l’intervalle [0 ; 100[.
On s’intéresse à l’expérience aléatoire qui consiste à choisir au hasard un nombre dans E.
a) Soit e une issue quelconque de E. On a : p ( e ) = ..........
b) Soit a et b deux nombres entiers appartenant à E. On pose A = « Obtenir un réel de [a ; b[ ».
On a : card ( A ) = .................... et donc : p ( A ) = .......................
2 – On s’intéresse ensuite à l’expérience aléatoire qui consiste à choisir au hasard un nombre réel quelconque
dans l’intervalle [0 ; 100[.
Pourquoi ne peut-on pas appliquer la méthode utilisée dans la question 1.
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La feuille annexe 1 montre la simulation de tirages de nombres réels dans l’intervalle [0 ; 100[.
On a construit dans chaque cas des histogrammes dont les classes ont une amplitude égale à 1.
On constate que la fonction f, définie sur [0 ; 100[ par : f ( x ) = .................... « épouse » la forme de
l’histogramme lorsque le nombre de tirages devient suffisamment grand.
On supposera donc que l’histogramme est constitué de rectangles dont la hauteur égale à .....................
On pose l’événement A : « Obtenir un nombre réel de l’intervalle [24 ; 52[ ».
a) Quelle est la probabilité de A ?
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b) Vérifier que p ( A ) est égale à la somme des aires des rectangles des classes [24 ; 25[, [25 ; 26[, [26 ; 27[,
... , [51 ; 52[.
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c) Comment pourraient-on écrire p ( A ) en utilisant la fonction f définie ci-dessus ?
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Conclusion : Lorsque l’univers est un intervalle E (ayant donc une infinité d’éléments), on ne peut plus
s’intéresser à chacune des issues.
Si on appelle X la variable aléatoire prenant pour valeur chacune des issues possibles, on ne peut que
s’intéresser aux événements du type : (X < a) ou (X ≤ a) ou (X > a) ou (X ≥ a) ou (a ≤ X < b) où a et b sont
deux réels de E.
Loi de probabilité à densité continue sur un intervalle
On a réalisé une étude portant sur la taille en cm de 50000 individus adultes.
Les résultats obtenus sont dans l’intervalle [145 ; 209].
Afin de réaliser une présentation des résultats, on a dessiné un histogramme donnant la distribution des tailles
en abscisses et la fréquence observée en ordonnée. Chaque classe a une amplitude de 1 cm.
On peut lire par exemple que 2% des individus ont une taille appartenant à [161 ; 162[.
Fréquence
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
0
145 149 153 157 161 165 169 173 177 181 185 189 193 197 201 205 209 Taille en cm
On choisit au hasard un individu de l’échantillon et on appelle X la variable aléatoire prenant pour valeur la
taille de l’individu.
1 – Que vaut p ( X ∈ [145 ; 209]) ?
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2 – En utilisant l’histogramme, donner une valeur approchée de p ( X ∈ [171 ;177[ ) .
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3 – Supposons que l’on ait trouvé une fonction f, définie et continue sur [145 ; 210] épousant la forme de
l’histogramme.
Fréquence
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
0
145
150
155
160
165
170
175
180
185
190
195
200
205
210 Taille (en cm)
Comment peut-on définir p ( X ∈ [171 ;177[ ) ?
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4 – On considère la fonction f, définie sur l’intervalle [145 ; 209] par :
f ( x ) = 0, 025cos ( 0, 0982 x − 17,377 ) + 0, 025
Compléter le tableau de valeurs ci-dessous en donnant des valeurs arrondies à 10−3 près.
145
x
153
161
169
177
185
193
201
209
f ( x)
Vérifier que la courbe représentative de la fonction f « épouse » bien la forme de l’histogramme.
5 – a) En utilisant le résultat de la question 3, calculer p ( X ∈ [171 ;177[ ) .
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b) Le résultat est-il cohérent avec celui de question 2 ?
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6 – La fonction f, définie ci-dessus ne peut pourtant pas être associée à la loi de probabilité de X.
Calculer :
∫
209
145
f ( t ) dt , puis expliquer pourquoi.
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Notation : Si c et d sont deux réels tels que c ≤ d, alors ( c ; d ) désigne un quelconque des quatre intervalles de
bornes c et d ([c ; d] ou [c ; d[ ou ]c ; d] ou ]c ; d[).
Par abus de notation, ( c ; d ) désignera aussi l’événement « Obtenir un résultat dans ( c ; d ) ».
Définition 7.7.1 : Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle I = [a ; b] de » .
On dit que p est la loi de probabilité sur I de densité f lorsque les deux conditions suivantes sont vérifiées :
Pour tous réels c et d appartenant à [a ; b] : p ( c ; d )  = .......................................
p ( I ) = .............................. = 1
Remarque : Il n’est donc pas possible d’associer n’importe quelle fonction f à une variable aléatoire X prenant
toutes les valeurs d’un intervalle E = [a ; b].
La fonction f, en plus d’être continue et positive sur [a ; b] doit vérifier :
∫
b
a
f ( t ) dt = 1.
Une telle fonction f s’appelle une densité de probabilité sur l’intervalle [a ; b].
Définition 7.7.2 : Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle I = [ a ; + ∞[ de » .
On dit que p est la loi de probabilité sur I de densité f lorsque les trois conditions suivantes sont vérifiées :
Pour tous réels c et d appartenant à [a ; b] : p ( c ; d )  = .......................................
p ( I ) = .............................................. = 1
Pour tout réel c de [ a ; + ∞[ : p [ (c ; + ∞[] = ........................................
Remarque : On peut dire aussi qu’une variable aléatoire X suit une loi de probabilité de densité f.
Propriété 7.7.3 : Soit p une loi de probabilité sur un intervalle I de densité f.
• Pour tout réel c de I, on a : p ({c} ) = ..................
( )
• On a les mêmes formules que pour les lois de probabilité discrètes pour p ( A ∪ B ) , p A et pB ( A ) .
Exemples : p est la loi de probabilité de densité la fonction f, définie sur [1 ; e] par : f ( x) =
k
.
x
• Déterminer la valeur de k.
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• On appelle A l’événement « Obtenir un résultat dans l’intervalle [1; 2] ».
Calculer p ( A )
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p est la loi de probabilité de densité la fonction f, définie sur [c ; +∞[ par : f ( x) =
•
2
.
x2
Calculer la valeur de c.
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•
On appelle A l’évènement « Obtenir un résultat dans l’intervalle ]3 ; 10[ »
Calculer p ( A ) .
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•
On appelle B l’évènement « Obtenir un résultat dans [10 ; + ∞[ ».
Calculer p ( B ) .
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