Mini-test algèbre, calcul différentiel

Yannick Delbecque — Département de mathématiques, Cégep de St-Laurent
Calcul différentiel — 201-NYA — Automne 2016
Mini-test limite et continuité
La durée de l’examen est de 25 minutes, aucune documentation n’est permise et l’usage de calculateurs électroniques est interdit.
Question 2 (3 points)
Vrai ou faux ? (Il n’est pas nécessaire de justifier vos réponses)
Question 1 (6 points)
Évaluer les limites suivantes, si elles existent.
√
2x + 1 − 3
a) lim
x→4
x2 − 16
x3 + 3x2 + 3x + 2
b) lim
x→−2
x2 + x − 2
 2
x −1



x−1



c) lim f (x), où f (x) = 
1


x→1


−2x + 4
a) Si a < dom( f ) alors f n’est pas continue en x = a.
b) lim f (x) = f (a) pour n’importe quelle fonction f .
x→a
si x > 1
si x = 1 .
si x < 1
log(π)
log(π)
f (x) =
lim f (x) si la limite du membre
cos(3)
cos(3) x→a
de droite existe.
c) lim
x→a
Solutions
Question 1
b) En tentant d’évaluer la limite directement,
on vérifie que c’est une forme « 0/0 ».
a)
√
lim
x→4
2x + 1 − 3
=
x2 − 16
√
2(4) + 1 − 3
0
=” ”
2
0
(4) − 16
On a donc une forme « 0/0 ». Pour lever
l’indétermination, on transforme la fonction
dont on veut connaitre la limite :
√
lim
x→4
√
2x + 1 − 3 2x + 1 + 3
√
x2 − 16
2x + 1 + 3
1
(2x + 1) − 9
= lim
√
x→4 x2 − 16
2x + 1 + 3
(2x − 8)
1
= lim
√
(x
−
4)(x
+
4)
x→4
2x + 1 + 3
2(x − 4)
1
= lim
√
x→4 (x − 4)(x + 4) 2x + 1 + 3
c)
2
1
= lim
√
x→4 (x + 4) 2x + 1 + 3
2
1
=
√
(4 + 4) 2(4) + 1 + 3
1
1
=
√
(4) 9 + 3
1
=
24
2x + 1 − 3
= lim
x→4
x2 − 16
√
En divisant x3 + 3x2 + 3x + 2 et x2 + x − 2 par
(x + 2), on obtient
x3 + 3x2 + 3x + 2 = (x + 2)
x2 + x − 2 = (x + 2)
x2 − 1
”0/0”
x→1 x − 1
(x − 1)(x + 1)
= lim+
x−1
x→1
= lim+ x + 1
lim+ f (x) = lim+
x→1
x→1
=2
Cela permet de calculer la limite comme
suit.
Comme les limites à gauche et à droite
x3 + 3x2 + 3x + 2
(x + 2)(x2 + x + 1) existent et valent toutes deux 2, on a que
lim
= lim
(x + 2)(x − 1)
x→−2
x→−2
x2 + x − 2
lim f (x) = 2.
x2 + x + 1
x→1
= lim
x−1
x→−2
(−2)2 + (−2) + 1
=
(−2) − 1
Question 2
= −1
Comme la fonction est définie par morceau
et qu’il y a deux branches qui se joignent en
x = 1, nous évaluons la limite à droite et la
limite à gauche.
a) Vrai, car si a < dom( f ), f (a) n’est pas défini
et on ne peut avoir lim f (x) = f (a).
x→a
b) Faux, car lim f (x) = f (a) ssi f est continue
x→a
en x = a. Cela est donc vrai uniquement pour
les fonctions continues en a.
log(π)
lim− f (x) = lim− −2x + 4
x→1
x→1
= −2(1) + 4
=2
c) Vrai, car cos(3) est une constante, et
par les propriétés des limites, on a que
lim x→a C f (x) = C lim x→a f (x) pour n’importe quelle constante C ∈ R si la limite du
membre de droite existe.