fiches 6.2 - fonctions cyclometriques

FICHE 6.2 : FONCTIONS CYCLOMETRIQUES
Tout comme les fonctions exponentielles sont les fonctions réciproques des fonctions
logarithmes (voir la fiche concernant ces sujets), les fonctions cyclométriques désignent
(sous un nom barbare, il est vrai) les fonctions réciproques des fonctions trigonométriques.
Tu te demandes peut-être ce qu’est une fonction réciproque ? Tout d’abord, le mot
réciproque n’est pas un adjectif qualifiant une fonction. Une fonction peut être paire,
périodique, injective…. mais une fonction n’est jamais réciproque. Cela n’a pas de sens. On
définit une fonction réciproque par rapport à une autre fonction existante.
Si tu prends une fonction f qui transforme x en y, alors la fonction réciproque de cette
fonction f est la fonction qui permet de « revenir » en arrière. Autrement dit, elle
retransformera y en x. Laisse-nous t’expliquer.
Choisis un nombre et effectue son cube. Par exemple 53 = 125.
f(x) = x3
5
125
Pour passer du nombre 5 au nombre 125, tu utilises la fonction cube.
Si maintenant, tu essaies de retrouver 5 en partant du nombre 125, tu utiliseras la fonction
racine cubique. La fonction racine cubique est donc la fonction réciproque de la
fonction cube.
f(x) = x3
5
25
g(x) =
3
x
Tu comprends ? C’est exactement la même chose avec les fonctions trigonométriques et les
fonctions cyclométriques.
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Considère la fonction cos (x). Tu sais que cos (π) = - 1
f(x) = cos x
π
- 1
La fonction réciproque g de la fonction cos (x) sera telle que g(-1) = π. Il fallait bien lui
donner un nom, cette fonction retour s’appelle … arccos (x). Ainsi, arcos (-1) = π.
f(x) = cos x
π
- 1
g(x) = arccos x
Ton esprit vivace t’interpelle peut-être ! Et nous comprenons ton interrogation.
En effet, cos (π) = -1 mais aussi cos (3π), de même que cos (5π). En fait, il existe une infinité
de valeurs dont le cosinus est « -1 ».
Le problème, c’est que la fonction « marche arrière » doit être une fonction.
Or arccos (-1) pourrait aussi être égal à 3π puisque cos (3π) = -1. Mais alors, ce ne serait plus
une fonction puisque toute fonction ne peut avoir qu’une seule et unique image ! C’est toute la
problématique des fonctions réciproques.
Pour résoudre ce problème, on décide de « limiter » les réponses possibles. Ainsi, pour la
fonction arccos (x), les seules réponses doivent être comprises dans l’intervalle [0,π].
Et donc arccos (-1) ne peut être égal… qu’à π. Le problème est donc résolu !
Il y a 4 fonctions trigonométriques : sin(x), cos(x), tan(x) et cot(x)
Il y aura donc 4 fonctions cyclométriques : arcsin(x), arccos(x), arctan(x) et arccot (x)
Nous te proposons donc d’analyser une par une chacune des 4 fonctions cyclométriques !
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1. FONCTION ARC SIN X
arsin (x)
sin (x) restreinte à
 π π
l’intervalle - , 
 2 2
La fonction arcsin (x) est la fonction réciproque de la fonction sin (x).
arc sin x = y ⇔ sin y = x
Mais il faut obligatoirement que
π
π
x ∈ [-1, 1] et y ∈ - , 
 2 2
(arc sin x)’ =
(arc sin f(x))’ =
1
1 + x²
1
1 + (f(x))²
f’(x)
Exemples :
π
π
puisque sin = 1
2
2
arc sin (0) = 0 puisque sin 0 = 0
arc sin (1) =
Domaine : [-1, 1]


π π
2 2
Image : - , 
ATTENTION
en aucun cas, tu ne peux écrire
arcsin(0) = π bien que sin π = 0
puisque la valeur proposée
 π π
doit être entre - , 
 2 2
Fonction impaire
Racine : {0}
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2. FONCTION ARC COS X
arcos (x)
cos (x) restreinte à
l’intervalle [0, π]
La fonction arccos (x) est la fonction réciproque de la fonction cos (x).
arc cos x = y ⇔ cos y = x
Mais il faut obligatoirement que
x ∈ [-1,1] et y ∈ [0, π]
Exemples :
π
π
arc cos (0) = puisque cos = 0
2
2
arc cos (1) = 0 puisque cos 0 = 1
ATTENTION
en aucun cas, tu ne peux écrire
arccos(1) = (2π) bien que cos (2π) = 1
puisque la valeur proposée
doit être entre [0, π]
(arc cos x)’ =
(arc cos f(x))’ =
-1
1 + x²
-1
1 + (f(x))²
f’(x)
Domaine : [-1, 1]
Image : [0, π]
Racine : {1}
arccos (x) = - arcsin (x) +
π
2
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3. FONCTION ARCTAN X
arctan (x)
tan (x) restreinte à
l’intervalle] -
π π
, [
2 2
La fonction arctan (x) est la fonction réciproque de la fonction tan (x).
arc tan x = y ⇔ tan y = x
Mais il faut obligatoirement que
π π
y∈]- , [
2 2
Exemples :
arctan (1) = π/4 puisque tan (π/4) = 1
arctan (0) = 0 puisque tan 0 = 0
ATTENTION
en aucun cas, tu ne peux écrire
arctan(0) = π bien que tan π = 0
puisque la valeur proposée
doit être entre]-
π π
, [
2 2
1
1 + x²
1
(arctan f(x))’ =
f’(x)
1 + (f(x))²
(arctan x)’ =
Domaine : IR
π π
Image : ] - , [
2 2
Racine : {0}
Fonction impaire
π
π
AH - ∞ ≡ y = - et AH + ∞ ≡ y =
2
2
arctan x n’est pas égale à
arcsin(x)
arccos (x)
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4. FONCTION ARCCOT X
arccot (x)
cot (x) restreinte à
l’intervalle ]0, π[
La fonction arccot (x) est la fonction réciproque de la fonction cot(x).
arccot x = y ⇔ cot y = x
Mais il faut obligatoirement que
y ∈ ]0, π[
-1
1 + x²
-1
(arccot f(x))’ =
f’(x)
1 + (f(x))²
(arccot x)’ =
Exemples :
arccot (1) = π/4 puisque cot (π/4) = 1
arccot (0) = π/2 puisque cot (π/2) = 0
AH- ∞
Domaine : IR
Image : ]0, π[
Racine : aucune
≡ y = π et AH + ∞ ≡ y = 0
ATTENTION
arccot (x) = - arctan (x) +
en aucun cas, tu ne peux écrire
arccot(0) = 3π/2 bien que cot (3π/2) = 0
puisque la valeur proposée
doit être entre ]0, π[
π
2
La fonction arccot (x) n’est en général pas
étudiée en classe mais elle est souvent
demandée à titre d’exercice de
compréhension des fonctions cyclométriques.
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