Cours fractions

NOMBRES RELATIFS EN ECRITURE FRACTIONNAIRE
FRACTIONS
I) Egalité de quotients :
1) Quotients égaux :
Propriété :
Un quotient de deux nombres relatifs ne change pas lorsqu’on multiplie
ou lorsqu’on divise son numérateur et son dénominateur par un même
nombre non nul.
Soit a un nombre relatif
b un nombre relatif non nul
k un nombre relatif non nul
ୟ
ୠ
=
ୟ×୩
ୠ×୩
=
ୟ÷୩
ୠ÷୩
Exemples :
8 8 × 3 24
=
=
18 18 × 3 54
8 8÷2 4
=
=
18 18 ÷ 2 9
Complétez
12
− =−
15
60
−
2) Egalité des produits en croix :
Propriété :
Soient a, b, c et d quatre nombres relatifs
b et d étant non nuls
ୟ
Si
ୡ
=ୢ
ୠ
alors a × d = b × c
ୟ
Si a × d = b × c alors
ୡ
=ୢ
ୠ
1
12
4
=−
15
Justification :
Soit a, b, c et d quatre nombres relatifs, b et d étant non nuls.
a c
a×d c×b
Si
=
alors
=
b d
b×d d×b
On a deux fractions ayant le même dénominateur égales donc leurs
numérateurs sont égaux donc a × d = c × b .
a ×d b×c
a c
=
Si a × d = b × c alors
et donc
= .
b×d b×d
b d
Exemples :
Les fractions suivantes sont-elles égales ? Justifier.
a)
198
270
et
187
255
b)
167
13
et
14
182
c) −
15
45
et
49
147
II) Addition et soustraction de fractions :
1) Règle 1 :
Pour additionner (ou soustraire) deux fractions de même dénominateur :
- On additionne (ou on soustrait) les numérateurs
- On garde le dénominateur commun
Soit a, b et c trois nombres relatifs, c étant non nul
ୟ
ୠ
+ୡ=
ୡ
ୟାୠ
ୟ
ୠ
−ୡ=
ୡ
ୡ
Exemples :
−9 3 −9+3 −6
3
+ =
=
=−
14 14
14
14
7
ୟିୠ
ୡ
2 4 2−4
2
− =
=−
3 3
3
3
2
2) Règle 2 :
Pour additionner (ou soustraire) deux fractions qui n’ont pas le même
dénominateur, on doit d’abord les réduire au même dénominateur.
Exemples :
3 7
+
4 5
On recherche un multiple commun à 4 et 5 : 20
3 × 5 15
7 × 4 28
=
=
4 × 5 20
5 × 4 20
On a alors
3 7 15 28 15 + 28 43
+ =
+
=
=
4 5 20 20
20
20
Calculer
5 11
−
6 4
Remarque :
Prendre, de préférence, le plus petit multiple commun ; cela évite d’avoir
à simplifier le résultat.
III) Multiplication de fractions :
1) Régle1 :
Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et
les dénominateurs entre eux.
Soient a, b, c et d quatre nombres relatifs, b et d étant non nuls
a c a×c
× =
b d b×d
Exemple :
3 (−5) 3 × (−5) − 15
×
=
=
4
6
4×6
24
3
2) Cas particulier :
Soient a, b et c trois nombres relatifs, c étant non nul
a×
b a×b
=
c
c
Justification :
Soient a, b et c trois nombres relatifs, c étant non nul
b a b a×b a×b
a× = × =
=
c 1 c 1× c
c
Exemple :
(−2) 5 × (−2) − 10
5×
=
=
11
11
11
IV) Division de fractions :
1) Inverse d’un nombre relatif non nul :
a) Définition :
Deux nombres relatifs sont inverses lorsque leur produit est égal à 1.
Exemples :
5 × 0,2 = 1 donc 0,2 est l’inverse de 5 ou 5 est l’inverse de 0,2.
−10 × (− 0,1) = 1 donc − 0,1 est l’inverse de −10.
4 × (− 0,25) = −1 ≠ 1 donc − 0,25 n’est pas l’inverse de 4.
Remarque :
Il n’existe aucun nombre qui, multiplié par 0, donne 1 donc 0 n’a pas
d’inverse.
b) Activité :
c) Propriété 1:
Soit a un nombre relatif non nul. L’inverse de a est
4
1
a
.
Justification :
Soit a un nombre relatif non nul
1 a ×1 a
a× =
= =1
a
a
a
Exemples :
1
L’inverse de 3 est .
3
L’inverse de −7 est
1
1
=− .
−7
7
Remarque :
Il ne faut pas confondre inverse et opposé.
L’opposé de 5 est
.
L’inverse de 5 est
.
d) Propriété 2:
ୟ
Soit a et b deux nombres relatifs non nuls. L’inverse de
ୠ
est
b
a
.
Justification :
Soit a et b deux nombres relatifs non nuls
a b a×b
× =
=1
b a b×a
Exemples :
L’inverse de
4
5
est .
4
5
L’inverse de −
2
7
est − .
2
7
2) Division de fractions:
a) Propriété 1 :
Diviser par un nombre relatif non nul revient à multiplier par son inverse.
Soit a et b deux nombres relatifs, b étant non nul.
a∶b=
Exemples:
4
1
4 : 11 = = 4 ×
11
11
5
a
1
=a×
b
b
b) Propriété 2 :
Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.
Exemples :
2
−5:  =
3
7
8:  =
4
c) Cas particulier:
Soit a, b, c et d quatre nombres relatifs, b ,c et d étant non nuls.
a
a c b a d
∶ = = ×
b d c b c
d
Exemples :
3
2 = 3 ×  − 11  = − 33
8 2  8
16
−
11
4
5 = 4×1= 4
3 5 3 15
d) Remarque :
Pour tout nombre relatif a non nul
1
=a
1
a
Justification :
Soit a un nombre relatif non nul
1
a
= 1× = a
1
1
a
Exemples :
1
= −2
1
−
2
1
=7
1
7
V) Schéma récapitulatif :
6