Activité 13

Activités #13 & #14
Élaboration d’une expérience
#1) But de l’expérience : Déterminer le moment d’inertie I 2 M de deux masses
ponctuelles
M autour d’un axe de rotation placé au centre, à une distance R
de chacune des masses.
#2) Schéma :
R
M
M
axe
#3) Hypothèse : En supposant que les masses M sont ponctuelles, établissez l’équation du
moment d’inertie I 2M théorique pour ce système.
#4) Ordre de grandeur : Fixez les valeurs de M = 105 g et R = 10cm pour estimer l’ordre
de grandeur du moment d’inertie I 2 M théorique donné par
l’équation établie précédemment.
#5) Montage expérimental : Du point de vue expérimental, il faudra fixer ces masses M
sur un montage les maintenant à la distance R durant leur
rotation. Il s’agit ici de les fixer sur des tiges aux
dimensions restreintes afin de diminuer, le plus possible,
leur influence :
R
M
M
#6) Moments d’inertie : Sur le montage précédent, identifiez les éléments offrant une
résistance à se faire accélérer angulairement (les éléments qui
contribuent au moment d’inertie total I total ).
#7) Trouver le moment d’inertie du système : Il s’agit de trouver une façon de
déterminer le moment d’inertie Itotal du
montage précédent en collectant des
mesures expérimentales relativement
précises.
R
M
M
d = 2r
h
m
Ce montage permet d’enrouler une corde, autour de la tige centrale verticale, reliée à une
masse entraînant, lors de sa descente, le système à tourner.
Dans tous les cas :
- la masse m est constante tout au long de l’expérience.
- la hauteur h descendue par la masse m est constante aussi.
- le diamètre de la tige centrale d demeure la même en tout temps.
#8) L’équation du moment d’inertie Itotal du système :
Utilisation de la conservation de l’énergie ∆E = 0 : l’énergie potentielle gravitationnelle
de la masse m est convertie en énergie cinétique de translation et de rotation à la fin de sa
descente :
E0 = E
K0 + U 0 = K + U
mgh =
1 2 1
mv + I totalω 2
2
2
Donc, le moment d’inertie du système Itotal peut être isolé :
I total =
2 
1

mgh − mv 2 
2 
2
ω 

(1)
Il manque ici, les valeurs ou les équations nous permettant de déterminer les vitesses
linéaire v et angulaire ω.
i)
Pour la vitesse linéaire v il suffit d’utiliser une équation de la cinématique
puisque la masse m sera accélérée de façon constante vers le bas :
1
(v0 + v )t
2
1
y − y 0 = h = (0 + v ) t
2
2h
v=
t
y = y0 +
ii)
(2)
Pour la vitesse angulaire ω, on utilise la relation entre la vitesse de
descente de la masse m et la vitesse angulaire ω de la tige centrale
verticale.
ω=
v
r
(3)
*** Notez ici que le rayon r est celui de la tige centrale verticale.
En substituant les équations (2) et (3) dans l’équation, on obtient finalement :
I total =
2r 2
v2
2

1 2


2  2 gh
2  gt


−
=
−
1
=
−
1
mgh
mv
mr
mr


 2

 2h
2


 v



 gt 2

− 1
I total = mr 2 
 2h

(4)
#9) Les mesures expérimentales :
D’après l’équation permettant de déterminer le moment d’inertie théorique des masses M
et l’équation (4) donnant le moment d’inertie du système :
On doit prendre en note les valeurs suivantes :
- les masses M pour lesquelles on veut déterminer le moment d’inertie.
- le rayon R qui mesure la distance entre une masse M et l’axe de
rotation (centre de la tige verticale).
- la masse m suspendue, constante tout au long de l’expérience.
- le rayon r de la tige centrale verticale.
- la hauteur h parcourue par la masse suspendue m, constante tout au
long de l’expérience.
- le temps t que met la masse m à parcourir la hauteur h.
#10) Traitement des mesures : Ce qu’on veut déterminer, c’est uniquement le moment
d’inertie des masses M, I 2M . On a ici deux équations :
1) Théorique : l’équation théorique associée aux masses ponctuelles, soit :
N
I 2 M = ∑ mi ri 2 = MR 2 + MR 2 = 2MR 2
i =1
2) Expérimental : l’équation (4) qui donne le moment d’inertie total du système
I total , soit celui des tiges ( I tiges ) combiné à celui des masses M ( I 2M ) :
I total = I tiges + I 2 M
où : Itotal : est donné par l’équation (4)
I tiges : est donné par l’équation (4) lorsqu’aucune masse M n’est
montée sur les tiges.
I 2 M : le moment d’inertie pour les masses M uniquement, celui recherché :
I 2 M = I total − I tiges
#11) Simulation : Fixons des valeurs fictives vous permettant d’appliquer les notions
précédemment énoncées. À l’aide des valeurs expérimentales
suivantes, établissez le moment d’inertie des masses M, I 2 M théorique
et I 2M expérimental.
Soit :
m = 150 g
d = 8mm
h = 38cm
Lorsqu’aucune masse M n’est fixée sur les tiges :
t = 2,8s
Avec des masses M montées sur les tiges:
M = 105 g
R = 10cm
t = 8,5s