TD 9 : Probabilités conditionnelles.

E1
TD 9 : Probabilités conditionnelles.
TD 9 : Probabilités conditionnelles.
• ∀k ∈ J1; nK, Uk : « on choisit l’urne k »
1. Soit k ∈ J1; nK. Déterminer la probabilité de Uk ∩ B1 ∩ B2
2. Quelle est la probabilité d’avoir deux boules blanches.
Exercice 1.
Dans une urne se trouvent quatre boules noires et deux boules blanches. Cinq
personnes tirent successivement et sans remise au hasard équiprobable une boule Exercice 5.
dans l’urne. Le premier qui tire une boule blanche a gagné.
Avec les notations du premier exemple du cours. On tire au hasard un portable
Quelle est la probabilité de victoire de chacune des cinq personnes ?
et l’on constate que son écran ne fonctionne pas. Quelle est la probabilité que ce
portable soit sorti de l’atelier A ?
Exercice 2.
Paulin et Émilie font un concours de tirs au but. Paulin et Émilie tirent à tour Exercice 6.
de rôle jusqu’à ce que l’un des deux marque. C’est Paulin qui tire en premier.
On considère un ensemble de maisons équipées d’alarmes vendues par la même
La probabilité que Paulin marque est de 12 . La probabilité qu’Émilie marque est
compagnie.
de 23 .
D’après la compagnie, leurs alarmes sont fiables à 99% : la probabilité qu’elles
On suppose que tous les tirs sont indépendants les uns des autres.
se déclenchent en présence d’un cambrioleur est de 99%, la probabilité qu’elle se
déclenche en l’absence d’un cambrioleur est de 1%.
L’une des maisons équipées est choisie au hasard équiprobable. On estime que
1. Soit n ∈ N∗ . Quelle est la probabilité que Paulin gagne lors de son n-ème tir ?
la probabilité qu’une maison soit cambriolée est de 0.1%.
Quelle est la probabilité qu’elle ait été cambriolé sachant que l’alarme s’y est
2. Soit N ∈ N∗ . Paulin et Émilie décident de déclarer match nul si aucun des deux
ne marque après N tirs chacun. Quelle est la probabilité que Paulin gagne ?
déclenchée ? (On utilisera une calculatrice pour l’application numérique.)
Exercice 7.
Exercice 3.
Véronique essaie d’arrêter de fumer. Le premier jour elle ne fume pas. Si elle
ne fume pas un jour, la probabilité qu’elle ne fume pas le lendemain est de 53 . Si
elle fume un jour, la probabilité qu’elle fume le lendemain est de 12 . On note pn la
probabilité que Véronique ne fume pas le n-ème jour.
Montrer que (pn )n∈N∗ est une suite arithmético-géométrique et donner sa formule
explicite.
Dans un jeu télévisé on demande au candidat de choisir au hasard entre trois
portes numérotées de 1 à 3. Derrière l’une d’entre elles se trouve une voiture,
derrière les deux autres se trouve une chèvre.
Le candidat choisit au hasard la porte 3. Le présentateur ouvre au hasard une
porte ne cachant pas la voiture, parmi les deux autres portes. Il demande au candidat s’il souhaite changer de porte.
On pose Oi : « le présentateur ouvre la porte i » et Vi : « la voiture est derrière
la porte i ».
Si le présentateur ouvre la porte 1, le candidat a-t-il intérêt à changer de porte ?
Exercice 4.
Exercice 8.
Soit n ≥ 2. On dispose de n urnes numérotées de 1 à n. Dans l’urne numéro k se
Soit (Ω, P(Ω), P) un espace probabilisé fini. Soit A un événement. Déterminer
trouvent k boules blanches et n−k boules rouges. On choisit au hasard équiprobable
une
condition nécessaire et suffisante pour que A soit indépendant de A.
une urne, puis on tire successivement et sans remise deux boules dans cette urne.
On note
Exercice 9.
• B1 : « la première boule tirée est blanche »
Soit (Ω, P(Ω), P) un espace probabilisé fini. Existe-t-il deux événements A et B
• B2 : « la deuxième boule tirée est blanche »
indépendants et incompatibles ?
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Exercice 10.
Soit (Ω, P(Ω), P) un espace probabilisé fini. Soient A, B et C trois événements
mutuellement indépendants.
1. Montrer que A et B ∩ C sont indépendants.
2. Montrer que A et B ∪ C sont indépendants.
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