Chapitre 1 : Les angles

Chapitre D : Les similitudes
Exercices supplémentaires (correctif)
1)
2) Détermine dans chaque cas, le rapport de similitude.
30 5

18 3
16 8

d) k 
10 5
a) k 
20 4
40 16

 pas de rapport de similitude
c) k 
15 3
1
4
45 30 21 3



e) k 
30 20 14 2
b) k 
Géométrie Exercices (Exercices supplémentaires - correctif)
Chapitre D : les similitudes
1
3)
d)
a)
e)
b)
f)
c)
a) ABC
|BÂC| = |DÂE| (voir dessin)
car
AED
|A B̂ C| = |D Ê A| (voir dessin)
Si deux triangles ont deux angles homologues de même amplitude alors ils sont semblables.
[AB] et [AE] sont homologues, [AC] et [AD] sont homologues et [BC] et [DE] sont homologues.
b) ABC
EBF
car
|AB| = 2 . |EB| (voir dessin)
| B̂ | = | B̂ | = 90° angle commun au deux triangles.
|BC| = 2 . |BF| (voir dessin)
Si deux triangles ont un angle de même amplitude compris entre deux côtés homologues de longueurs
proportionnelles, alors ils sont semblables.
[AB] et [BE] sont homologues, [AC] et [EF] sont homologues et [BC] et [BF] sont homologues.
c) BEC
|B Ê C| = |A D̂ C| = 90° (voir dessin)
car
CDA
|B Ĉ E| = |DÂC| : ce sont des angles alternes-internes, ils ont donc la même
amplitude.
Si deux triangles ont deux angles homologues de même amplitude alors ils sont semblables.
[BE] et [DC] sont homologues, [CE] et [AD] sont homologues et [BC] et [AC] sont homologues.
d) AFC
car
AEC
|AF| = |AE| (voir dessin)
|FÂC| = |CÂE| (voir dessin)
|AC| = |AC| car côté commun aux deux triangles
Géométrie Exercices (Exercices supplémentaires - correctif)
Chapitre D : les similitudes
2
Les deux triangles sont isométriques, or si ils sont isométriques, ils sont semblables et le rapport de
similitude vaut alors 1.
Si deux triangles ont un angle de même amplitude compris entre deux côtés homologues de longueurs
proportionnelles, alors ils sont semblables.
[AF] et [AE] sont homologues, [AC] et [AC] sont homologues et [FC] et [CE] sont homologues.
e) Aucune paire de triangle semblable.
f) ABC
|BÂC| = |FÂE| = 90° angle commun aux deux triangles.
car
AEF
|B Ĉ A| = |E F̂ A| : ce sont des angles correspondants car EF // BC.
Si deux triangles ont deux angles homologues de même amplitude alors ils sont semblables.
[BC] et [EF] sont homologues, [AC] et [AF] sont homologues et [AB] et [AE] sont homologues.
4)
A
A
C
C
=A
C
5)
AB
AD
AE
AC

AC
AE
x x3

4
6
 6 x  4.( x  3)
 6 x  4 x  12
 2 x  12
 x6
DE

BC
10 x

4 8
 4 x  80
 x  20

Géométrie Exercices (Exercices supplémentaires - correctif)
Chapitre D : les similitudes

3
6)
a)
b)
c)
d)
e)
L’œil de gauche n’est pas bien positionné.
Une dent apparaît dans la bouche du dessin de droite.
L’oreille gauche est trop basse dans le dessin de gauche.
L’oreille droite est trop large dans le dessin de droite, elle est déformée.
Le pied gauche est plus grand que le pied droit et ne semble pas avoir été réduit.
7) On considère les deux triangles isocèles semblables suivants. La mesure de la hauteur du grand triangle
est de 10 cm et sa base mesure 5 cm. L’aire du petit triangle est de 16 cm2.
B
Quel est le périmètre du petit triangle ?
A
C
a) Dans le grand triangle, il est possible de calculer l’aire :
A grand triangle =
b.h 10.5

 25cm ²
2
2
b) Il est alors possible de calculer le rapport des aires, qui vaut le carré du rapport de similitude :
k² 
Agrand
Apetit

25 5
25

, donc k 
16
16 4
c) Ensuite, il faut calculer les deux côtés du grand triangle isocèle grâce au théorème de Pythagore :
|AB|² = |BC|² + |AC|²
5
|AB|² = 10² +  
2
25
|AB|² = 100 +
4
400  25 425

4
4
425
 10,31cm
|AB| =
4
2
|AB|² =
d) Enfin, on peut déterminer le périmètre du grand rectangle puis du plus petit.
P grand = 10,31 + 10,31 + 5 = 25,62 cm
Géométrie Exercices (Exercices supplémentaires - correctif)
Chapitre D : les similitudes
4
k
Pgrand
Ppetit
Ppetit 
Pgrand
k

25,62
4
 25,62.  20,496cm
5
5
4
8) On considère les deux figures semblables suivantes. Détermine l’aire de la plus grande figure.
Rapport de similitude :
Rapport des aires :
Calcul de l’aire du
grandcôté 12,5

 2,5
petitcôté
5
k ²  2,5²  6,25
Aire garnd
k² 
grand :
Aire petit
k
 Aire grand  k ².Aire petit
 Aire garnd  6,25.40  250cm ²
9)
8
15
12
9
4/3
4,8
1,8
5,4
6
6,6
2
8
3/2
6
6 2
6 5 /5
30 / 3
15
2/3
14
15 / 5
32/3
35/4
7/4
10) Les côtés du triangle XYZ mesurent 5cm, 6cm et 7cm. Détermine les mesures des côtés du triangle
X’Y’Z’ semblable au triangle XYZ et dont le périmètre mesure 27 cm.
Y
Périmètre XYZ = 5 + 6 + 7 = 18 cm
PérimètreX ' Y ' Z ' 27 3

 ou 1,5.
Donc, k =
PérimètreX YZ
18 2
Y
’
X
Les mesures des côtés du triangle X’Y’Z’ valent : 5 . 1,5 = 7,5 cm
6 . 1,5 = 9 cm
7 . 1,5 = 10,5 cm
Géométrie Exercices (Exercices supplémentaires - correctif)
Chapitre D : les similitudes
5
Z
X’
Z’