Devoir temps libre + correction.

Mathématique 3ème. Devoir temps libre
Devoir à rendre sur feuille de copie double pour le :
Consignes
Fais un grand dessin au crayon sur une feuille séparée. (La construction avec Géogébra ou un
autre logiciel est autorisée, fournir alors une feuille imprimée 21x29,7).
Tous les traits de constructions doivent rester apparents.
Chaque étape de la démonstration doit être détaillée et expliquée par des phrases.
Il faut également citer clairement tous les théorèmes utilisés après avoir montré que les conditions
nécessaires à leur utilisation sont bien présentes dans la configuration utilisée.
●
● Devoir
Voici un programme de construction:
Construire un triangle ABC dont [BC] est le plus grand côté.
Avec le côté [BC], construire le carré BCDE, à l'extérieur du triangle.
Le segment [AE] coupe le coté [BC] en F et le segment [AD] coupe le côté [BC] en G
La perpendiculaire à [BC], passant par F, coupe [AB] en I
La perpendiculaire à [BC], passant par G, coupe [AC] en H
Le quadrilatère FGHI est un carré inscrit dans le triangle ABC.
1. En suivant le programme de construction, construire un carré inscrit dans un triangle.
2. Démontrer que le quadrilatère obtenu est bien un carré.
3ème Dtl5 Collège Gaston Defferre Preuilly
Mathématiques 3ème. Correction du dtl5.
Figure
1. Par construction, BCDE est un carré.
On peut en déduire que [BE] est perpendiculaire à [BC]
et que [DC] est perpendiculaire à [BC].
Par construction, [IF] est perpendiculaire à [BC] et [GH]
est perpendiculaire à [BC].
→ [BE], [IF], [HG], et [DC] sont perpendiculaires à
[BC] donc sont parallèles entre eux.
Et en particulier:
- [IF] est parallèle à [BE]
- [HG] est parallèle à [DC]
Par construction, F et G appartiennent à [BC].
Comme BCDE est un carré, on en déduit que :
- [FG] est parallèle à [DE]
2. Nous allons utiliser successivement trois configurations de thalès:
a. Dans le triangle (ABE), I est sur [AB], F est sur [AE] et [IF] est parallèle à [BE].
IF
AF
Le théorème de Thalès nous permet d'écrire:
=
BE
AE
b. Dans le triangle (AED), F est sur [AE], G est sur [AD] et [FG] est parallèle à [DE].
AF
FG
AG
Le théorème de Thalès nous permet d'écrire:
=
=
AE
ED
AD
c. Dans le triangle (ADC), G est sur [AD], H est sur [AC] et [GH] est parallèle à [DE].
AG
HG
Le théorème de Thalès nous permet d'écrire:
=
AD
DC
IF
FG
Les égalités du a. et du b. permettent d'écrire:
=
et comme BE=ED
BE
ED
(côtés d'un même carré) on en déduit que IF=FG
FG
HG
Les égalités du b. et du c. permettent d'écrire:
=
et comme ED=DC
ED
DC
(côtés d'un même carré) on en déduit que FG=HG
On aboutit à la conclusion: IF=FG=GH
3. Nature du quadrilatère FGHI
a. IF=HG et [IF] parallèle à [HG] donc le quadrilatère FGHI est un parallélogramme
b. [IF] et [GH] sont perpendiculaires à [BC]. Le parallélogramme a deux angles droits,
c'est donc un rectangle.
c. IF=FG=GH. Le rectangle a deux côtés consécutifs égaux, c'est donc un carré.
FGHI est un carré.
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