Résumé 01 : Algèbre Linéaire (I) Le langage

MP, Lycée Berthollet
http://mpberthollet.wordpress.com
2014/2015
Résumé 01 : Algèbre Linéaire (I)
Dans tout ce chapitre, K sera le corps R ou C, et E sera un espace vectoriel sur K.
Vous remarquerez les grandes similitudes qui existent entre les espaces vectoriels de dimension finie
et les ensembles de cardinal fini, notamment en ce qui concerne les sous-espaces (puis les applications
pour le cours à suivre).
Le langage
Honnêtement, il est très peu probable que l’on vous demande un jour de restituer la définition d’un
K− espace vectoriel , en revanche il est indispensable de connaître celle des sous-espaces vectoriels :
Définition .1
Soit E un K− espace vectoriel et F ⊂ E. F est un sous espace vectoriel de E lorsque
1. 0E ∈ E,
2. pour tous x, y ∈ E et tout α, β ∈ K, α.x + β.y ∈ E.
E XEMPLES
– ..d’ espaces vectoriels : Rn , Rn , Mn,p (R), F (X, E), où E est un K- espace vectoriel
,R[X], Rn [X]. Evidemment on obtient des C- espaces vectoriels en remplaçant R par C dans
ces exemples.
– ..de sous-espaces vectoriels :
B {OE } et E sont des sous-espaces vectoriels de E dits triviaux.
B Dans l’espace, les droites et les plans vectoriels fournissent des exemples.
B Tout ensemble de solutions d’un système linéaire homogène à n variables est un
sous-espace vectoriel de Rn .
B Tout ensemble de solutions d’une équation différentielle homogène d’ordre 1 ou 2 est un
sous-espace vectoriel de F (I, R).
Grosso modo, un espace vectoriel est un ensemble dans lequel on peut faire des combinaisons
linéaires. Ne nous gênons pas :
Définition .2 ( combinaisons linéaires )
Si F = (ei )i∈I est une famille éventuellement infinie de vecteurs, on appelle combinaison linéaire de F ,X
tout vecteur y de E pour lequel il existe une suite presque nulle de scalaires (λi )i∈I
tels que y =
λi .ei . 1
i∈I
On note Vect (F ) l’ensemble de ces combinaisons linéaires .
Ainsi, si F = (e1 , . . . , ep ) est une famille finie,
Vect (e1 , . . . , ep ) =
( p
X
)
xi ei , où xi ∈ K .
i=1
La propriété suivante précise l’affirmation selon laquelle Vect F est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant F :
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Propriétés .3 (de Vect )
Soit F une famille de vecteurs de E. Alors
1. Vect (F ) est un sous-espace vectoriel de E.
2. Soit F un sous-espace vectoriel de E contenant la famille F . Alors
Vect (F ) ⊂ F.
On dit que Vect (F ) est le sous-espace vectoriel engendré par la famille F , et F est appelée
famille génératrice de E si E = Vect F .
Les propriétés suivantes sont utiles lorsque l’on cherche à extraire d’une famille génératrice de E
une base de E :
Proposition .4
1. Vect (e1 , . . . , ep ) est conservé par les trois opérations élémentaires.
2. ep+1 ∈ Vect (e1 , . . . , ep ) ⇐⇒ Vect (e1 , . . . , ep , ep+1 ) = Vect (e1 , . . . , ep ).
Familles libres et génératrices
Définition .5
Soit n ∈ N∗ et F := (e1 , . . . , en ) une famille de n vecteurs de E. On dira que cette famille est
• génératrice de E lorsque
Pour tout X ∈ E, il existe x1 , . . . , xn ∈ K tels que X = x1 e1 + . . . + xn en .
• libre lorsque
Pour tout x1 , . . . , xn ∈ K,
X
n
xi ei = 0, =⇒ x1 = . . . = xn = 0 .
i=1
• une base de E lorsqu’elle est libre et génératrice. On peut ainsi condenser les deux propriétés
ainsi : F est une base de E si et seulement si
Pour tout X ∈ E, il existe un unique(x1 , . . . , xn ) ∈ Kn tels que X = x1 e1 + . . . + xn en .
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Remarques :
Ainsi, F est génératrice de E ssi E = Vect (e1 , . . . , en ) , et elle est libre ssi la seule combinaison
linéaire nulle de vecteurs de F est la combinaison trivialement nulle.
On peut unifier ces trois définitions en remarquant qu’elles correspondent respectivement à la
surjectivité, l’injectivité et la bijectivité de l’application linéaire
ψ : (x1 , . . . , xn ) ∈ Kn 7→
n
X
xi ei ∈ E.
i=1
E XEMPLES
∗
• ∀n ∈ N , la famille de n vecteurs















1
0
..
.
 
 
 
,
 
 
0
1
..
.






,...,




0
0
K−espace vectoriel Kn , appelée base canonique.
0
0
..
.
1






 .





est une base du
• ∀n ∈ N, la famille (1, X, X 2 , . . . , X n ) est une base appelée base canonique de Kn [X].
• Soit (P0 , P1 , . . . , Pn ) une famille de n + 1 polynômes de R[X] qui vérifie deg Pi = i pour
tout 0 6 i 6 n. Alors c’est une famille libre de K[X].
• Dans
l’ensemble Mn,p (K) des matrices à n lignes et p colonnes, la famille de np matrices
Eij
, où Eij est la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf celui situé en
16i,j6n
(i, j) qui vaut 1, est une base de Mn,p (K) dite base canonique.
Les bases ont un intérêt central pour la raison suivante :
Proposition .6 (Coordonnées dans une base)
Soit (e1 , . . . , en ) une base de n vecteurs de E. Alors, pour tout X ∈ E, il existe un unique n−uplet
P
(x1 , . . . , xn ) ∈ Kn tel que X = ni=1 xi ei . Ce n−uplet est appelé coordonnées de X dans la base
(e1 , . . . , en ).
La dimension finie
Un K− espace vectoriel est dit de dimension finie lorsqu’il existe n ∈ N∗ et une famille E de n
vecteurs de E telle que Vect E = E.
Théorème .7
Soit E un K− espace vectoriel de dimension finie.
1. E possède une base (en fait, une infinité).
2. Toutes les bases de E possèdent le même nombre d’éléments.
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On appelle dimension de E le cardinal de l’une quelconque de ses bases.
On dira qu’un espace vectoriel qui ne contient qu’un élément (son neutre pour + !) est de dimension nulle.
E XEMPLES
• Pour tout n ∈ N∗ , Kn est un K−espace vectoriel de dimension n.
• Pour tout n ∈ N, Kn [X] est un K−espace vectoriel de dimension n + 1.
• C2 est un C−espace vectoriel de dimension 2, mais c’est aussi un R− espace vectoriel de
dimension 4. De manière générale, un C−espace vectoriel de dimension n est un R−espace
vectoriel de dimension 2n (montrez-le).
• Pour tout n, p ∈ N∗ , Mn,p (K) est un K−e.v de dimension np.
• Pour tout vecteur X non nul de E, Vect(X) est de dimension 1, i.e c’est une droite. On la
note aussi K.X On appelle plan tout espace vectoriel de dimension 2.
• Si E et F sont deux K− espaces vectoriels de dimension finie, alors E × F l’est aussi et
dim E × F = dim E + dim F .
On peut traduire la liberté d’une famille avec le seule notion de rang :
Proposition .8 (Rang d’une famille de vecteurs)
Pour toute famille (e1 , . . . , ep ) de vecteurs de E, on appelle
Rang (e1 , . . . , ep ) = dim Vect (e1 , . . . , ep ) .
On a alors
1. Rang (e1 , . . . , ep ) 6 p.
2. Rang (e1 , . . . , ep ) = p ⇐⇒ (e1 , . . . ep ) est libre.
La dimension comme cardinal limite. Une famille libre de cardinal maximal est une base, et une
famille génératrice de cardinal minimal est une base :
Proposition .9
Soientk ∈ N∗ , E un K−ev de dimension finie et F une famille de k vecteurs de E.
Si F est libre, alors k 6 dim E
.
Si F est libre et k = dim E, alors F est une base.

Si
F est génératrice, alors k > dim E
Si F est génératrice et k = dim E, alors F est une base.
.
Enfin, un résultat très utile, qui permet de construire des bases dont les premiers vecteurs sont
prescrits :
Théorème .10 (Base incomplète)
Soit E un K− espace vectoriel de dimension n ∈ N∗ , et (e1 , . . . , ep ) une famille libre de vecteurs de
E. Alors il existe ep+1 , . . . , en ∈ E tels que (e1 , . . . , ep , ep+1 , . . . , en ) soit une base de E.
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Dimension et sous-espaces
Propriétés .11 (Croissance de la Dimension)
Soit E un K−espace vectoriel de dimension n et F un sous-espace vectoriel de E. Alors
• F est de dimension finie, et dim F 6 dim E.
• Si dim F = dim E, alors F = E.
Ce dernier résultat nous dispensera pour prouver l’égalité de deux espaces vectoriels de montrer une des
deux inclusions ; on substituera celle-ci à l’égalité des dimensions.
Définition .12 (Somme et intersection de sev)
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un K−ev E. Alors
1. F ∩ G est un sous-espace vectoriel de E.
2. F + G = {x + y où x ∈ F, y ∈ G} est un sous-espace vectoriel de E. On a l’égalité de
sous-espaces vectoriels suivante : F + G = Vect (F ∪ G).
3. F et G sont dits en somme directe lorsque F ∩ G = {0}. On note alors leur somme F ⊕ G.
A nouveau, ce résultat devrait rappeler à votre mémoire le cardinal d’une union de parties finies :
Proposition .13 (Dimension d’une somme)
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E de dimension finie. Alors
• dim F + G = dim F + dim G − dim F ∩ G.
• F et G sont en somme directe ssi dim F + G = dim F + dim G.
Définition .14 (Supplémentaires)
Deux sous-espaces vectoriels F et G de E sont supplémentaires dans E lorsque E = F + G et
F ∩ G = {0}. On note alors F ⊕ G = E.
On appellera hyperplan tout sous-espace vectoriel qui admet une droite comme supplémentaire.
En termes de décomposition, cela donne :
E = F ⊕ G ⇐⇒ ∀z ∈ E, ∃ un unique couple (x, y) ∈ F × G tel que z = x + y .
Tout sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel E de dimension finie possède un supplémentaire
(une infinité en fait).
Proposition .15 (Caractérisation des supplémentaires)
Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels quelconques de E, nous avons l’équivalence entre les
trois propriétés suivantes :
– F ⊕G=E;
– F + G = E et dim F + dim G = dim E.
– F ∩ G = {0E } et dim F + dim G = dim E.
– ∀z ∈ E, ∃!(x, y) ∈ F × G tel que z = x + y.
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