Outils de Simulation 2 Exercice Estimation d`une médiane par l

Outils de Simulation 2
Exercice Estimation d’une médiane par l’algorithme
de Robbins-Monro
Soit Z une variable aléatoire réelle de fonction de répartition F . Sous réserve d’existence, on définit la médiane de Z comme le (ou les) point(s) z1/2 tels que
P(Z ≤ z1/2 ) = P(Z ≥ z1/2 ) =
1
.
2
L’objectif de cet exercice est d’estimer z1/2 à partir d’une suite d’observations (Zn )n≥0
i.i.d. de loi Z grâce à l’algorithme de Robbins-Monro. On suppose que F est continue.
1. Sous quelle condition suffisante sur F a-t-on F (z1/2 ) =
1
2
et pour tout z 6= z1/2 ,
1
(z − z1/2 )(F (z) − ) > 0 ?
2
2. On pose pour tout x, y ∈ R, Ψ(x, y) = 1]−∞;x] (y). Montrer que F (x) = E(Ψ(x, Z)).
3. Ecrire un algorithme de Robbins-Monro permettant d’approcher cette médiane.
4. Tester la convergence de cet algorithme avec la loi uniforme sur [0; 1] et la loi
exponentielle de paramètre 1.
5. Pour établir la convergence en loi, quelle hypothèse de régularité doit-on rajouter
sur F ?
6. Pour la loi exponentielle de paramètre λ > 0, calculer les quantités σ 2 et qλ et
illustrer la convergence en loi de l’algorithme de Robbins-Monro en fonction du
paramètre λ.
7. On peut se demander ce qui se passe s’il n’existe pas de z1/2 tel que F (z1/2 ) = 21
ou si ces points forment un intervalle non vide. Illustrer ce qu’il se passe pour la
loi de Bernoulli de paramètre 0 et celle de paramètre 1/2.
1