TD: Déviation d`une particule chargée dans un champ en 1/r2

TD: Déviation d’une particule chargée dans un champ en
1/r2
1 Position du problème
Soit M une particule témoin, chargée, soumise au champ électrostatique d’une particule S, chargée, très
lourde, placée au point O(0,0). On admet que S, appelée centre actif, a un recul négligeable. On rappelle que
1
. qSrq2M . ||~~rr|| .
la force de Coulomb qui s’exerce sur la charge témoin est: F~ = 4π.ε
0
La particule témoin est un proton de masse m = 1,66.10−27 kg, de charge +e = 1,6.10−19 C, qui part du
point P (x = −10 Å, y = y0 ) avec une vitesse de 3,73.104 m.s−1 dans la direction (Ox). La distance y0 est alors
appelée paramètre d’impact; on la note généralement b.
1. Tracer les trajectoires de M en faisant varier le paramètre d’impact y0 ∈[0,2 Å ; 3 Å] dans le cas où le
centre actif a une charge −e. (Pour cela, déterminer préalablement un intervalle de temps pendant lequel
la particule subit une interaction significative avec le centre actif).
2. Même question dans le cas où le centre actif a une charge +e. Commenter les différences. Évaluer la
distance minimale entre la particule et le centre actif.
Solution
1. On réalise une évaluation très grossière en supposant que la vitesse est approximativement constante.
−10
−14
s.
Initialement M est distante d’environ 10 Å, elle aura parcouru 20 Å en 20.10
3,73.104 ' 5.10
Système: M ; référentiel: lié à la particule S; bilan: force de Coulomb.
(
••
1
. 2qS .q2M3/2 .x
m. x = 4.π.ε
0 (x +y )
.
••
1
m. y = 4.π.ε
. 2qS .q2M3/2 .y
0 (x +y )
2. Dans ces deux cas, on obtient une branche d’hyperbole mais le foyer n’est pas le même.
Pour l’interaction répulsive, la distance minimale d’approche est ' 1,7 Å, la déviation D varie de 160◦ à
0◦ .
N.B. Pour l’interaction attractive, les grandes déviations sont des artéfacts (le paramètre d’impact y0 ne
peut pas être plus petit que rS + rM ; cf. choc).
2 Code avec Mathematica
Rutherford
Calcul numérique
In[1]:= e=N[1.6 10^-19];m=N[1.66 10^-27];k=N[9 10^9]; prefacteur=-e e k/m;
Remarque: k = 1/(4 π ε0 )
In[3]:= Zmax=10; Z=Table[i,{i,1,Zmax}];
For[i=1,i<=Zmax,i++, b=-0.08 10^-10+0.28 10^-10*i; x=.;y=.;z=.;t=.;tmax=8 10^-14;
ax=prefacteur x[t] (x[t]^2+y[t]^2)^{-3/2};vx0=37313;x0=-10^-9.;
ay=prefacteur y[t] (x[t]^2+y[t]^2)^{-3/2};vy0=0.; y0=b;
tmp=NDSolve[{ x’’[t]==ax,x’[0]==vx0,x[0]==x0, y’’[t]==ay,y’[0]==vy0,y[0]==y0},
{x[t],y[t]},{t,0,tmax}];
X=x[t]/.tmp[[1]][[1]]; Y=y[t]/.tmp[[1]][[2]]; Z[[i]]={10^10 X,10^10 Y}]
In[6]:= ParametricPlot[{Z[[1]],Z[[2]],Z[[3]],Z[[4]],Z[[5]],Z[[6]], Z[[7]],Z[[8]],Z[[9]],
Z[[10]]},{t,0,tmax}]
1
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ISEN-Brest. Kany.
Out[6]=
en réitérant le calcul avec:
In[7]:= prefacteur=+e e k/m;
on obtient:
Out[11]=
3 Code avec Python
# -*- coding: utf-8 -*import scipy.integrate
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
1e 9
1e 9
0.0
1.5
0.5
1.0
1.0
1.5
0.5
2.0
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
1e 9
1.5
1.0
2
0.5
0.0
0.5
1.0
1e 9
ISEN-Brest. Kany.
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4 Annexe: expérience de Rutherford
En 1909, les allemands Hans Geiger (1882-1945) et E. Mardsen, en bombardant les noyaux lourds d’une
très mince feuille d’or par des particules α (noyaux d’hélium), constatèrent que les particules α subissaient
des déviations importantes parfois supérieures à 90◦ . L’anglais Ernest Rutherford (1871-1937) améliora ces
expériences et expliqua en 1911 les résultats en admettant que la charge positive d’un atome était concentrée
dans un noyau de très petites dimensions par rapport à celles de l’atome, les déviations observées étant dues à
la répulsion coulombienne entre les noyaux des atomes d’or (q = +79 e) et les particules α (q = + 2 e).
En effet, comme il existe une très forte proportion de particules α qui ne sont pas déviées, le paramètre
d’impact est nécessairement grand devant le rayon du noyau d’or. L’atome est donc constitué d’un petit noyau
autour duquel gravitent des électrons à une distance très grande. En conséquence, la matière atomique a une
structure lacunaire contrairement au modèle de J.J. Thomson proposé en 1904.
2e.Ze
On montre que l’angle de déviation D est lié au paramètre d’impact b par la relation: tan D
2
2 = 4πε0 .µ.b.v∞
avec v∞ la vitesse initiale de la particule α (loin du noyau d’or) et µ la masse réduite du système à deux corps qui
est approximativement m la masse de la particule α. À partir de l’angle de déviation maximum, qui correspond
donc au paramètre d’impact minimum, il est possible d’estimer le rayon des noyaux atomiques. Ainsi, avec
des particules α initialement à 5 MeV, la déviation maximum est de 150◦ ce qui correspond à un paramètre
d’impact de 6, 1.10−15 m. Le rayon du noyau est donc très inférieur au rayon de l’atome (' 1 Å).
3