L2-M31 Analyse Université d’Évry TD 3 - Fonctions d’une variable réelle Exercice 1. Soit f une fonction continue sur R telle que ∀x, y ∈ R, f (x + y) = f (x) + f (y). On pose a = f (1). Exprimer f sur N, puis sur Z, puis sur Q et enfin sur R. Tout d’abord, nous avons : f (0) = f (0 + 0) = f (0) + f (0) ⇒ f (0) = 0 Ensuite, soit n ∈ N : f (n) = f ( n X 1) = i=1 n X f (1) = na i=1 f (0) = f (−n + n) = f (−n) + f (n) = f (−n) + na = 0 Ainsi, f (−n) = −na et ∀z ∈ Z, f (z) = za. Soit (p, q) ∈ Z × N∗ . q q X X p p p p )= f ( ) = qf ( ) f (q ) = f ( q q q q i=1 i=1 = f (p) = pa Ainsi f ( pq ) = pq a et ∀x ∈ Q, f (x) = xa. Soit x ∈ R. Comme Q est dense dans R, il existe une suite (xn ) de rationnels telle que xn −→ x. n→+∞ Nous avons alors, comme f est continue lim f (xn ) = f (x) n−→+∞ = lim xn a = xa n−→+∞ puisque l’application x 7→ xa est continue dans R. Exercice 2. Soit la fonction réelle de la variable réelle définie par 1 ∀x ∈ R∗ , f (x) = x sin et f (0) = 0. x Montrer que f est continue sur R. f est continue sur R∗ car x 7→ x et x 7→ sin( x1 ) sont continues sur ce domaine (comme composée de fonctions continues). Il faut maintenant vérifier que f se prolonge par continuité en 0 avec la valeur 0. 2 Pour tout x > 0, on a −1 ≤ sin( x1 ) ≤ 1 et −x ≤ x sin( x1 ) ≤ x. On a donc 0 = lim+ −x ≤ lim+ f (x) ≤ lim+ x = 0. x−→0 x−→0 x−→0 De même, pour tout x < 0, on a −1 ≤ sin( x1 ) ≤ 1 et −x ≥ x sin( x1 ) ≥ x. Ainsi, 0 = lim− −x ≥ lim− f (x) ≥ lim− x = 0. x−→0 x−→0 x−→0 La fonction f se prolonge donc par continuité en 0, avec f (0) = 0. La fonction initiale est donc continue sur R. Exercice 3. Soit −∞ < a < b < +∞, f et g deux fonctions continues de [a, b] dans R. On suppose de plus ∀x ∈ [a, b], f (x) < g(x). a) Montrer qu’il existe δ > 0 tel que ∀x ∈ [a, b], f (x) + δ < g(x). La fonction g − f est continue sur l’intervalle fermé borné [a, b]. Elle atteint donc ses bornes. On pose γ = min g − f . Comme ∀x ∈ [a, b], f (x) < g(x), on a γ > 0 et x∈[a,b] ∀x ∈ [a, b] γ < γ ≤ g(x) − f (x) 2 En notant δ = γ2 , on a donc bien f (x) + δ < g(x), ∀x ∈ [a, b]. b) Le résultat est il encore vrai si on remplace [a, b] par [a, b[ ou [a, +∞[? Le résultat n’est plus vrai : montrons des contre-exemples: On prend a = −1, b = 0, f (x) = 0 et g(x) = −x. Pour tout x ∈ [−1, 0[, f (x) < g(x), mais pour δ > 0, f (x) + δ ≥ g(x) ∀x ∈ [−δ, 0]. Comme ∀δ > 0, [−δ, 0[∩[−1, 0[6= ∅, nous avons un contre-exemple. On prend a = 1, b = +∞, f (x) = 0 et g(x) = x1 . On a pour tout x ∈ [1, +∞[, f (x) < g(x), mais pour tout δ > 0, f (x) + δ ≥ g(x) sur [ 1δ , +∞[. Comme ∀δ > 0, [ 1δ , +∞[∩[1, +∞[6= ∅, nous avons un contre exemple. Exercice 4. Soit f une fonction à valeurs réelles continue sur l’intervalle [a, b], avec −∞ < a < b < +∞. Montrer qu’il existe c ∈ [a, b] tel que 4f (a) + f (b) = 5f (c). On pose, pour tout x ∈ [a, b], g(x) = 4f (a) + f (b) − 5f (x). La fonction g est continue sur [a, b]. On a également g(a) = f (b) − f (a) et g(b) = 4(f (a) − f (b)). On remarque que g(a)g(b) ≤ 0, ce qui revient à dire que g(a) ≥ 0 ≥ g(b) ou g(a) ≤ 0 ≤ g(b). Ainsi, d’après le théorème de la valeur intermédiaire, il existe c ∈ [a, b] tel que g(c) = 0. C’est à dire, qu’il existe c ∈ [a, b] tel que 4f (a) + f (b) = 5f (c). Exercice 5. Soit f une fonction continue de [0, 1] dans [0, 1]. Montrer que f admet au moins un point fixe. On pose, pour tout x ∈ [0, 1], g(x) = f (x) − x. La fonction g est continue sur [0, 1]. On remarque que g(0) ≥ 0 ≥ g(1). Ainsi, d’après le théorème de la valeur intermédiaire, il existe c ∈ [0, 1] tel que g(c) = 0. C’est à dire, qu’il existe c ∈ [0, 1] tel que f (x) = x. 3 Exercice 6. Un véhicule se rend en une heure d’une ville A à une ville B distante de x A de x kilomètres. Montrer qu’il existe deux points du trajet distants de kilomètres 2 tels que le temps de parcours entre ces 2 point est exactement 1/2 heure. Indication: introduire la fonction d : [0, 1] → R+ telle que d(t) représente la distance parcourue à l’instant t. On introduit la g fonction définie de [0, 1/2] dans [0, x] telle que g(t) = d(t+ 21 )−d(t)− x2 . La fonction g représente différence entre la distance parcourue pendant une demi-heure à partir du temps t et x/2. Cette fonction est continue (on suppose que le véhicule ne peut pas se déplacer instantanément entre deux points distants). On remarque ensuite que g(0)g( 12 ) ≤ 0. Ceci provient de la remarque que si le véhicule a parcouru une distance supérieure à x/2 pendant la première demi-heure, il a parcouru une distance inférieure à x/2 pendant la deuxième demi-heure; et inversement. Nous avons ainsi g(0) ≥ 0 ≥ g(1/2) ou g(0) ≤ 0 ≤ g(1/2). D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe c ∈ [0, 21 ] tel que g(c) = 0. C’est à dire qu’il existe un temps c à partir duquel le véhicule aura parcouru x/2 kilomètres en 1/2 heure. Exercice 7. Dire si les fonctions suivantes sont uniformément continues: a) f (x) = 1/x sur [1, +∞[ , On a |f 0 (x)| = | − x12 | ≤ 1 pour tout x ∈ [1, +∞[. La fonction dérivée est bornée sur l’intervalle de définition, donc la fonction est uniformément continue sur cet intervalle. (Pour rappel : soit (x, x0 ) ∈ [1, +∞[. D’après le théorème des accroissements finis, il existe c ∈ [x, x0 ] tel que f (x0 ) − f (x) = f 0 (c)(x0 − x). Ainsi |f (x0 ) − f (x)| = |f 0 (c)||(x0 − x)| ≤ |x0 − x|, ce qui montre que f est uniformément continue.) b) f (x) = 1/x sur ]0, 1], Elle n’est pas uniformément continue sur cet intervalle. Pour le prouver, il suffit de trouver ε > 0, (xn ) et (yn ) tels que xn − yn −→ 0 et |f (xn ) − f (yn )| > ε, ∀n ≥ 0. 1 , n n→+∞ 1 yn = n+δ . On peut prendre ε = 1, δ > ε, xn = δ On a alors xn − yn = n(n+δ) −→ 0 et |f (xn ) − f (yn )| = |δ| > ε. n→+∞ c) f (x) = sin(x) sur R , On a |f 0 (x)| = |cos(x)| ≤ 1 pour tout x ∈ R. La fonction dérivée est bornée sur l’intervalle de définition, donc la fonction est uniformément continue sur cet intervalle. d) f (x) = sin(x2 ) sur R. √ √ On peut prendre xn = 2πn et yn = 2πn + √ √ 2π √ . 8 n On a alors xn − yn = − 8√2πn −→ 0. De plus, sin(x2n ) = sin(2πn) = 0 et sin(yn2 ) = n→+∞ sin(2πn + π 2 + 2π −→ 64n n→+∞ 1. Ainsi, à partir d’un certain rang, |f (xn ) − f (yn )| > 21 . Ceci montre que la fonction f n’est pas uniformément continue. Exercice 8. Soit f une fonction continue sur [0, +∞[. On suppose que f converge vers une limite finie quand x tend vers +∞. 4 a) Montrer que f est bornée. Soit ε > 0. Comme lim f (x) = l ∈ R, il existe Xε > 0 tel que pour tout x ≥ Xε , x−→+∞ on a l − ε ≤ f (x) ≤ l + ε. De plus, comme f est continue sur l’intervalle fermé borné [0, Xε ], f est bornée et atteint ses bornes sur cet intervalle. Notons fmin et fmax deux réels tels que fmin ≤ f (x) ≤ fmax , ∀x ∈ [0, Xε ]. On a alors min(l − ε, fmin ) ≤ f (x) ≤ max(l + ε, fmax ), ∀x ∈ [0, +∞[. f est donc bornée. b) Montrer que f est uniformément continue sur [0, +∞[. Soit ε > 0. On veut montrer qu’il existe ηε > 0 tel que ∀(x, x0 ) ∈ [0, +∞[2 , |x − x0 | < ηε ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε. Comme lim f (x) = l, il existe Xε/3 > 0 tel que pour tout x ≥ Xε , on a |l − f (x)| < x−→+∞ ε/3. Comme f est continue en Xε/3 , il existe ηXε/3 tel que pour tout x ∈]Xε/3 −ηXε/3 , Xε/3 + ηXε/3 [, on a |f (x) − f (Xε/3 )| < ε/3. En particulier, ∀(x, x0 ) ∈]Xε/3 − ηXε/3 , Xε/3 + ηXε/3 [2 , on a |f (x) − f (x0 ) ≤ |f (x) − f (Xε/3 )| + |f (Xε/3 ) − f (x0 )| < 2ε/3 < ε . Ensuite, comme f est continue sur l’intervalle fermé borné [0, Xε/3 ], f est uniformément continue sur cet intervalle. C’est à dire qu’il existe η > 0 tel que ∀(x, x0 ) ∈ [0, Xε/3 [2 , |x − x0 | < η ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε. En prenant ηε = min(η, ηXε/3 ), on a ∀(x, x0 ) ∈ [0, Xε/3 + ηXε/3 [2 , |x − x0 | < ηε ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε Pour terminer la démonstration, il suffit de remarquer que si (x, x0 ) ∈ [Xε/3 , +∞[, on a |f (x) − f (x0 )| ≤ |f (x) − l| + |l − f (x0 )| ≤ 2ε/3 < ε. Ainsi, ∀(x, x0 ) ∈ [0, +∞[2 , |x − x0 | < ηε ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε La fonction f est donc uniformément bornée sur [0, +∞[.