Bac Blanc

Bac Blanc
SÉRIE SPECIALITE
l
a
n
i
m
r
e
T
S
e
SESSION avril 2012
Durée de l’épreuve : 4 heures – Coefficient : 9
Ce sujet comporte 4 pages numérotées de 2 à 4
Il sera tenu compte de la présentation et de la rédaction dans l’évaluation
de la copie.
Les calculatrices sont AUTORISÉES pour cette épreuve.
Le devoir comporte 4 exercices indépendants.
Exercice 1
Nouvelle-Calédonie, mars 2011 (extrait)
3 points
Restitution Organisée de Connaissances
R
On utilisera le résultat suivant : les solutions de l’équation différentielle y 0 = a y où a ∈ sont les fonctions
g définies sur par g (x) = Keax où K ∈ .
Le but de cette partie est de déterminer les solutions de l’équation différentielle (E) y 0 = a y + b où a ∈ ∗
et b ∈ .
b
1. Démontrer que la fonction u définie sur par u(x) = − est une solution de (E).
a
2. Soit f une fonction définie et dérivable sur . Démontrer l’équivalence suivante :
R
R
R
R
R
R
f est solution de (E) si et seulement si f − u est solution de l’équation différentielle y 0 = a y.
3. En déduire toutes les solutions de l’équation différentielle (E).
Exercice no 2
Polynésie
septembre 2011
7 points
Partie A Question de cours
R
Soit I un intervalle de .
Soient u et v deux fonctions continues, dérivables sur I telles que les fonctions dérivées u 0 et v 0 soient
continues sur I.
Rappeler la formule d’intégration par parties sur un intervalle [a ; b] de I.
Partie B
On considère les fonctions f et g définies sur
R par :
3
et g (x) = (x − 1)2 .
2
On note respectivement C 1 et C 2 les courbes représentatives de f de g dans le plan muni d’un repère
orthonormal (O ;~ı ; ~).
Les courbes sont tracées en annexe.
f (x) = (x − 1)2 e−x
1.
a) Déterminer les coordonnées des points communs à C 1 et C 2 .
b) Donner les positions relatives de C 1 et C 2 sur
R.
1
Z
2.
f (x) dx.
a) À l’aide de deux intégrations par parties successives, déterminer
0
b) Calculer, en unités d’aire, l’aire de la partie du plan limitée par les courbes C 1 , C 2 et les droites
d’équations x = 0 et x = 1.
Partie C
On considère la suite (u n ) définie pour tout entier naturel n non nul par :
1
Z
un =
1.
0
(x − 1)2n e−x dx.
a) Démontrer que, pour tout x de [0 ; 1] et pour tout entier naturel n non nul,
0 É (x − 1)2n e−x É (x − 1)2n .
2
b) Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, on a :
0 É un É
1
.
2n + 1
2. En déduire que la suite (u n ) est convergente et déterminer sa limite.
Exercice no 3
Asie juin 2009
5 points
1. On se propose, dans cette question, de déterminer tous les entiers relatifs N tels que
(
N ≡ 5 (13)
N ≡ 1 (17)
a) Vérifier que 239 est solution de ce système.
b) Soit N un entier relatif solution de ce système.
Démontrer que N peut s’écrire sous la forme N = 1 + 17x = 5 + 13y où x et y sont deux entiers
relatifs vérifiant la relation 17x − 13y = 4.
c) Résoudre l’équation 17x − 13y = 4 où x et y sont des entiers relatifs.
d) En déduire qu’il existe un entier relatif k tel que N = 18 + 221k.
(
N ≡ 5 (13)
e) Démontrer l’équivalence entre N ≡ 18 (221) et
.
N ≡ 1 (17)
2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même infructueuse, sera
prise en compte dans l’évaluation.
a) Existe-t-il un entier naturel k tel que 10k ≡ 1 (17) ?
b) Existe-t-il un entier naturel l tel que 10l ≡ 18 (221) ?
Exercice no 4
Antilles-Guyane septembre 2010
On considère la suite de nombres réels (u n ) définie sur
N par :
1
1
et, pour tout entier naturel n, u n+2 = u n+1 − u n .
2
4
1. Calculer u 2 et en déduire que la suite (u n ) n’est ni arithmétique ni géométrique.
u 0 = −1, u 1 =
2. On définit la suite (v n ) en posant, pour tout entier naturel n :
1
v n = u n+1 − u n .
2
a) Calculer v 0 .
b) Exprimer v n+1 en fonction de v n .
1
c) En déduire que la suite (v n ) est géométrique de raison .
2
d) Exprimer v n en fonction de n.
3. On définit la suite (w n ) en posant, pour tout entier naturel n :
wn =
3
un
.
vn
5 points
a) Calculer w 0 .
1
b) En utilisant l’égalité u n+1 = v n + u n , exprimer w n+1 en fonction de u n et de v n .
2
c) En déduire que pour tout n de , w n+1 = w n + 2.
N
d) Exprimer w n en fonction de n.
4. Montrer que pour tout entier naturel n
un =
5. Pour tout entier naturel n, on pose : S n =
k=n
X
2n − 1
.
2n
uk = u0 + u1 + · · · + un .
k=0
Démontrer par récurrence que pour tout n de
N:
Sn = 2 −
2n + 3
.
2n
ANNEXE, exercice 2
Cette page ne sera pas à rendre avec la copie
y
7
6
C2
5
4
3
2
1
C1
0
−2
−1
0
1
2
3
4
4
5
6
x