Contrôle : PGCD, Bézout, Gauss E 1 E 2

TS-spe
Contrôle : PGCD, Bézout, Gauss
E
. Bézout, Gauss
Contrôle : PGCD,
2
. correction
1. Montrer que deux entiers naturels consécutifs non nuls sont premiers entre eux.
E
1
. correction
2. Soit n un entier naturel non nul. Montrer que si on prend n +1 entiers compris
1. On se propose, dans cette question, de déterminer tous les entiers relatifs N
tels que
entre 1 et 2n il y en a toujours deux qui sont premiers entre eux.

 N ≡ 5 (13)
 N ≡ 1 (17)
(a) Vérifier que 239 est solution de ce système.
(b) Soit N un entier relatif solution de ce système.
Démontrer que N peut s'écrire sous la forme N = 1 + 17x = 5 + 13y où x et y
sont deux entiers relatifs vérifiant la relation 17x − 13y = 4 .
(c) Résoudre l'équation 17x − 13y = 4 où x et y sont des entiers relatifs.
(d) En déduire qu'il existe un entier relatif k tel que N = 18 + 221k .
(e) Démontrer l'équivalence entre N ≡ 18

 N ≡ 5 (13)
(221) et
.
 N ≡ 1 (17)
2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative,
même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Existe-t-il un entier naturel l tel que 10l ≡ 18
(221) ?
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Réciproquement, déterminons pour quelles valeurs de k et k ′ x et y sont solu-
.
Correction
E
1
tions.
. énoncé
1. (a) 239 = 13 × 18 + 5 donc 239 ≡ 5
239 = 17 × 14 + 1 donc 239 ≡ 1
Z
(
(17)
221k + 17 + 1 = 221k + 18 , k ∈
Réciproquement :
Si N ≡ 18 (221) alors il existe k ∈
13y + 5 ou 17x + 1 et 13y + 5 = 17x + 1 .
Or 13y + 5 = 17x + 1 équivaut à 17x − 13y = 4 , avec (x ; y) ∈
Z2 .
Z tel que N = 221k + 18 .
Or 221k + 18 ≡ 5 (13) donc N ≡ 5 (13) .
De la même manière, si N ≡ 18 (221) alors N ≡ 1 (17) .

 10ℓ ≡ 5 (13)
2. On a vu que 10ℓ ≡ 18 (221) =⇒
 10ℓ ≡ 1 (17)
(c) Le couple (1 ; 1) est une solution évidente : 17 × 1 − 13 × 1 = 4 .
⇐⇒ 17x − 13y − (17 × 1 − 13 × 1) = 4 − 4
⇐⇒ 17(x − 1) − 13(y − 1) = 0
Or
⇐⇒ 17(x − 1) = 13(y − 1)
On en déduit alors :
• 100 ≡ 1 (13)
17 étant premier avec 13 , il divise, d'après le théorème de Gauss, (y − 1) ;
Z tel que y − 1 = 17k , c'est à dire tel que y = 17k + 1 ;
de la même manière, il existe k ′ ∈
Z.

 N ≡ 5 (13)
(e) On a déjà démontré ci-dessus que
⇒ N ≡ 18 (221).
 N ≡ 1 (17)
Toute solution N du système peut donc s'écrire de deux façons :
□
Z
tel que N = 17y + 1 = 13y + 5 , c'est à dire tel que N = 17(13k + 1) + 1 =
Z tel que N = 13y + 5 ;
De même N ≡ 1 (17) signifie : il existe x ∈ Z tel que N = 17x + 1 .
il existe donc k ∈
)
(d) Si N est solution du système alors il existe x ; y = (13k +1 ; 17k +1), k ∈ ,
(b) N ≡ 5 (13) signifie : il existe y ∈
□
⇐⇒ k = k ′
Les couples solutions s'écrivent sous la forme (13k + 1 ; 17k + 1), k ∈ .
(13)
Donc 239 est solution du système.
17x − 13y = 4
(
)
17 13k ′ + 1 − 13 (17k + 1) = 0
• 101 ≡ −3 (13)
• 102 ≡ 9 (13)
Z tel que x = 13k ′ + 1 .
• 103 ≡ −1 (13)
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• 104 ≡ 3 (13)
• 105 ≡ 4 (13)
• 106 ≡ 1 (13)
Pour tout ℓ ∈
N , il existe un couple d'entiers naturels
(
ℓ = 6q + r . On a alors 10ℓ = 10
)
6 q
q et 0 ⩽ r < 6 tel que
× 10r ≡ 10r (13) .
On en déduit que dans la division par 13, tous les nombres 10ℓ ont donc comme
reste : −3 ; −1 ; 1 ; 3 ; 4 ; 9 , mais jamais 5 .
Conclusion : il n'existe pas d'entier ℓ tel que 10ℓ ≡ 18 (221) .
E
2
. énoncé
1. 1 × (n + 1) + (−1) × n = 1 , donc d'après le théorème de Bézout n et n + 1 sont
premiers entre eux.
2. Si on prend n + 1 entiers compris entre 1 et 2n alors il y en a au moins deux
qui sont consécutifs et qui sont donc premiers entre eux.
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