Licence de Mathématiques L3 Semestre 6 année 2015–2016

Licence de Mathématiques L3 Semestre 6
année 2015–2016
Equations Différentielles
Examen Mai 2016
Durée : 3 heures
Documents et calculatrices interdits
Le sujet est composé de 5 exercices indépendants
Exercice 1 ( 4 points)
On considère l’équation différentielle
y ′ = f (y)
avec f : R → R donné par

 0
y
f (y) =

1
(1)
si y ≤ 0,
si 0 < y ≤ 1,
si y > 1.
(a) Montrer que pour tout (t0 , y0) ∈ R2 il existe une et une seule solution globale y de (1)
vérifiant y(t0 ) = y0 .
(b) Obtenir cette solution explicite dans le cas où t0 = 0 et 0 < y0 < 1.
Exercice 2 ( 3.5 points)
On considère l’équation différentielle
t
y ′ = ty + .
y
(2)
(a) Quel est le type de cette équation ?
(b) Montrer que ∀y0 ∈ R∗ il existe une solution maximale unique de (2) vérifiant y(0) = y0 .
(c) On pose z(t) = y(t)2 . Montrer qu’alors z est solution de z ′ = 2tz + 2t et résoudre cette
équation.
(d) Résoudre (2) avec la condition initiale y(0) = 2. Donner le domaine de définition de la
solution maximale.
Exercice 3 ( 4 points )
Soient M, N : R2 → R deux fonctions de classe C 1 telles que la fonction
∂M
(x, y)
∂y
−
∂N
(x, y)
∂x
M(x, y)
ne dépend pas de la variable x. On pose F la fonction donnée par
F (y) =
∂M
(x, y)
∂y
−
∂N
(x, y)
∂x
M(x, y)
1
et on suppose que F est continue.
(a) On considère l’équation différentielle
N(x, y(x))y ′ (x) + M(x, y(x)) = 0.
(i) Soit µ : R → R une fonction de classe C 1 . Montrer que l’équation différentielle
µ(y)N(x, y)y ′ + µ(y)M(x, y) = 0
admet une intégrale première si et seulement si µ vérifie l’équation
dµ(t)
+ F (t)µ(t) = 0.
dt
(3)
(ii) Résoudre l’équation (3), c’est à dire, déterminer µ en fonction de F et t.
(b) On veut appliquer cette méthode pour résoudre l’équation
(2x3 y(x) + x3 y 4 (x))y ′ (x) + 3x2 y 2(x) = 0.
(4)
(i) Quelle est la fonction F associée à cette équation ? Les hypothèses précédentes sontelles vérifiées par F ?
(ii) Déterminer la fonction µ associée qui vérifie de plus µ(0) = 1.
(iii) En utilisant cette fonction µ, transformer (4) en une équation admettant une intégrale
première (aussi appelée équation exacte ) et calculer la solution (sous forme implicite).
Exercice 4 ( 5 points)
On considère le système différentiel
x′ = 2y
y′ = x − y
(5)
(a) Déterminer la solution de (5) correspondant à la condition initiale x(0) = x0 , y(0) = y0 .
(b) Soit γ(t) = (x(t), y(t)) la courbe intégrale de (5) vérifiant γ(0) = (x0 , y0 ).
(i) Pour quelles données initiales cette courbe est-elle une demi-droite ?
(ii) Pour quelles données initiales cette courbe tend vers 0 quand t → ∞ ?
(c) En se basant dans les résultats précédents, dessiner le portrait de phase en respectant le
sens des courbes.
(d) La solution nulle est-elle stable ? Justifier.
Exercice 5 ( 6 points)
Etant donnée une courbe paramétrée par t ∈ R, avec courbure et torsion données par des
fonctions c, τ : R → R continues, les formules de Serret-Frenet permettent de réduire l’analyse
de la courbe à l’étude du système suivant :

′

 x (t) = c(t)y(t),
y ′(t) = −c(t)x(t) + τ (t)z(t),
(6)

 z ′ (t) = −τ (t)y(t),
2
avec conditions initiales (x(0), y(0), z(0)) = (x0 , y0 , z0 ).
(a) Justifier que pour tout (x0 , y0 , z0 ) ∈ R3 , il existe une unique solution globale de (6).
(b) Montrer que si la condition initiale vérifie x20 + y02 + z02 = 1, alors la solution vérifie x2 (t) +
y(t)2 + z 2 (t) = 1, pour tout t ∈ R.
On suppose désormais que c(t) = 8t3 et τ (t) = 0, pour tout t ∈ R.
(c) Montrer que z(t) = z0 pour tout t ∈ R. Conclure que si
√
3
1
1
x0 = √ , y0 = √ , z0 =
,
2
2 2
2 2
alors la solution est contenue dans un cercle dans le portrait de phases. Déterminer le centre
et rayon de ce cercle.
(d) Pour obtenir la matrice fondamentale du système, on suppose que z0 = 0 et on introduit la
variable
y(t)
.
η(t) =
1 + x(t)
2
1 − η2
2η
. En déduire que x =
,y=
2
1+x
1+η
1 + η2
et que η vérifie l’équation à variables séparables :
(i) En utilisant (b), montrer que η 2 + 1 =
η ′ = −4t3 (η 2 + 1).
(7)
(ii) Résoudre l’équation (7) avec les conditions initiales suivantes : η(0) = 0 et η(0) = 1.
Déterminer l’intervalle maximal de définition dans chaque cas.
(e) En déduire l’expression explicite pour la matrice fondamentale G(t) associée au système de
Serret-Frenet (6).
Indication : on pourra utiliser les identités trigonométriques :
1 − tan2 (θ)
= cos(2θ),
1 + tan2 (θ)
3
2 tan(θ)
= sin(2θ).
1 + tan2 (θ)