Exercices

Interrogations orales en PT - PT * au
Lycée Raspail, Paris – Énoncés
Vincent Jugé
Année 2012-2013
1
1 Fonctions de R dans Rn – Courbes du plan définies par
une représentation paramétrique
Exercice 1.1.
Énoncé et démonstration de la formule de Taylor avec reste intégral.
Exercice 1.2.
DL à l’ordre 5 en 0 (i.e. en O(x6 )) de cos(x)2 et de sin(x)2 .
Exercice 1.3.
DL à l’ordre 5 en 0 (i.e. en O(x6 )) de cos(sin(x)).
Exercice 1.4. Calcul de limx→0 x cos(x)−1
sin(x)−x .
Exercice 1.5.
tangents
en t = 0 à la courbe paramétrique C =
Calcul des3 éventuels demi-vecteurs
x = cos(t) , y = sin(t)3 | −π ≤ t ≤ π .
Exercice 1.6.
Étude de la position de la courbe D = x = t cos(t)4 , y = 1 + 2 sin(t) | − π2 ≤ t ≤ π2
par rapport à sa tangente en t = 0.
Exercice 1.7 (Cachan 2007).
Soit F = {f ∈ C ∞ (R+ , R) | ∀n ≥ 0, f (n) ≥ 0}.
1. Montrer que F est stable par addition, multiplication, dérivation, composition.
2. Montrer que, si f ∈ F vérifie f 0 (0) > 0, alors lim+∞ f = +∞.
3. Montrer que f ∈ F admet une fonction réciproque dans F , alors f 0 (0) > f (0) = 0.
4. Soit g cette réciproque : calculer g 0 et g 00 .
5. En déduire l’ensemble des fonctions de F qui admettent une réciproque dans F .
Exercice 1.8.
R x R t
cos(sin(u))
+
sin(cos(u))du
dt. Montrer qu’il exite un réel M > 0 tel
Soit f (x) = 0
0
que ∀x ∈ R, |f (x)| ≤ M x2 .
Exercice 1.9.
Soit f : R → R une fonction dérivable. Est-il vrai que :
1. Si f n’est pas injective, alors il existe un réel x ∈ R tel que f 0 (x) = 0 ?
2. S’il existe un réel x ∈ R tel que f 0 (x) = 0, alors f n’est pas injective ?
3. Et si l’on suppose que f : R → C ?
Exercice 1.10.
Soit a, b, c, d, e ∈ C 1 (R, R) des fonctions telles que e = 1+a2 +b12 +c2 +d2 , a0 = e(a + 2b),
b0 = −e(2a + b), c0 = e(c + 2d), d0 = −e(2c + d) et a(0) = 1, b(0) = 2, c(0) = 3, d(0) = 4.
On admettra l’existence de telles fonctions. Montrer que a(1)d(1) − b(1)c(1) = −2.
2
Exercice 1.11 (Inégalité des accroissements finis sur C).
Soit f : R → C une fonction dérivable, et a, b, M trois réels tels que a < b. Montrer, à
partir du théorème de Rolle, que si ∀x ∈]a, b[, |f 0 (x)| ≤ M , alors |f (b) − f (a)| ≤ M |b − a|.
3
2 Continuité des fonctions de deux variables définies sur une
partie de R2 – Courbes du plan définies par une équation
polaire – Révisions sur les coniques
Exercice 2.1 (Suite de l’exercice 1.5).
Tracer la courbe paramétrique C = x = cos(t)3 , y = sin(t)3 | − π4 ≤ t ≤ π4 et calculer
ses éventuels demi-vecteurs tangents.
Exercice 2.2 (Suite de l’exercice 1.6).
Tracer la courbe paramétrique D = x = t cos(t)4 , y = 1 + 2 sin(t) | − π2 ≤ t ≤ π2 et étudier sa position par rapport à sa tangente en t = 0.
Exercice 2.3.
Tracer la courbe paramétrique donnée par son équation polaire E = {r = cos(θ)} et
donner une équation de sa tangente en θ = 0.
Exercice 2.4.
Donner les caractérisations d’une ellipse
1. en fonction de ses deux foyers ;
2. en fonction d’un de ses foyers et de sa droite directrice ;
3. avec une équation paramétrique.
En déduire que deux ellipses distinctes ayant un foyer commun ont au plus deux points
communs.
Exercice 2.5.
Donner une équation, en coordonnées polaires, représentant le carré dont les côtés sont
A(−1, 1), B(−1, −1), C(1, −1) et D(1, 1).
Exercice 2.6.
Les parties suivantes de R2 sont-elles fermées ? ouvertes ?
1. A = (x, y) | x2 + y 2 ≤ 1 ;
2. B = (x, y) | x2 + y 2 = 1 ;
3. C = {(x, y) | 0 ≤ x + y} ;
4. D = {(x, y) | x = 0, −1 < y < 1} ;
5. E = {(x, y) | −1 < x < 1, −1 < y < 1}.
Exercice 2.7.
2
Trouver un équivalent en 0 de exp − sin(x)
− cos(x).
2
Exercice 2.8.
Donner les caractérisations d’une hyperbole
1. en fonction de ses deux foyers ;
2. en fonction d’un de ses foyers et de sa droite directrice ;
3. avec une équation paramétrique.
En déduire que l’ensemble des nombres complexes z ∈ C tels que A(1), B(z), C(z 3 ) soient
les sommets d’un triangle rectangle en B forment une hyperbole.
4
3 Enveloppe d’une famille de droites du plan – Propriétés
métriques des courbes planes paramétrées – Développée
et développantes d’une courbe
Exercice 3.1.
Donner la définition de l’abscisse curviligne s d’une courbe F~ (t) ∈ C ∈ (R, R2 ), de sa
~ ) associé. Quelles
courbure γ, de son rayon de courbure R, et du repère de Frénet (T~ , N
~)?
relations y a-t-il entre F~ , s, γ, R et (T~ , N
Exercice 3.2.
Donner la définition et les propriétés de la développée d’une courbe.
Exercice 3.3.
Donner la définition et les propriétés des développantes d’une courbe.
Exercice 3.4.
Soit F = (F1 , F2 ) ∈ C 2 (R, R2 ) une courbe telle que F10 F200 − F20 F100 > 0.. Trouver les
courbes dont l’enveloppe est l’enveloppe de F .
Exercice 3.5.
Soit C le graphe de la fonction cosh(x) sur l’intervalle [−1, 1]. Calculer la longueur de la
courbe C.
Exercice 3.6 (ENSAM 2010).
1. Quelle est la nature de la courbe C d’équation y = 2x2 ?
2. Donner une équation de sa développée D.
3. Calculer la longueur de D entre les deux points d’intersection de C et D.
5
4 Intégrales des fonctions continues par morceaux sur un
segment, à valeurs réelles et complexes
Exercice 4.1.
P
Trouver les primitives de f (x) = 5k=−5 cos(kx).
Exercice 4.2.
P
Trouver les primitives de g(x) = 5k=−5 xk .
Exercice 4.3.
√
Trouver les primitives de h(x) = sin(2x) + 3x.
Exercice 4.4.
P
Étudier la convergence et la limite éventuelle de la suite un = nk=1
k
sin( n
)
.
k
Exercice 4.5 (Inégalité de la moyenne sur C – Reprise de l’exercice 1.11).
R
b
Soit f : [a, b] → C une fonction continue par morceaux. Montrer que a f (t) dt ≤
Rb
a |f (t)| dt.
R
Rb
b
Indication : On pourra considérer un réel θ tel que a f (t) dt = a f (t) dt eiθ , puis les
fonctions g(t) = e−iθ f (t) et h(t) = <(g(t)).
Exercice 4.6 (Inégalité de Cauchy-Schwarz).
√
R 2πn
Soit n un entier. Montrer que 0 sin(t) sin(t2 ) dt ≤ 2πn.
Exercice 4.7 (Cachan 2001).
Rπ
Soit In = 0 sin((n+1/2)t)
dt. Évaluer In+1 − In et en déduire In .
sin(t/2)
Exercice 4.8.
R x R t
3 du dt. Montrer que |f (x)| ≤
cos(u)
Soit f (x) = 0
0
6
x2
2 .
5 Intégrales généralisées ou impropres
Exercice 5.1.
R1
Étudier la convergence et la somme de l’intégrale I = 0 ln(x) dx.
Exercice 5.2.
R +∞
Étudier la convergence et la somme de l’intégrale J = 0 exp(−ax) dx pour a réel.
Exercice 5.3.
R1
R +∞
Étudier la convergence et la somme des intégrales K0 = 0 xα dx et K1 = 1 xα dx
pour α réel.
Exercice 5.4 (Cauchy-Schwarz).
Soit f,
g : R → R deux fonctions
positives, continues par morceaux, telles que
R +∞
R +∞
2
2
If =
f (x) dx et Ig = −∞ g(x) dx convergent. Montrer que l’intégrale If,g =
R +∞ −∞
2
−∞ f (x)g(x) dx converge et vérifie If,g ≤ If Ig .
Exercice 5.5.
Étudier la convergence des intégrales M
R +∞ sin(x) cos(x−3 ) 2
dx.
x
0
7
=
R +∞ sin(x) 2
0
x
dx et N
=
6 Fonctions intégrables sur un intervalle quelconque –
Espaces vectoriels – Applications linéaires
Exercice 6.1.
Caractériser les bases d’un espace vectoriel E de dimension n < +∞.
Exercice 6.2.
Soit E = Kn un espace vectoriel et F une famille de vecteurs de E. Montrer que F est
libre si et seulement si c’est la base d’un sous-espace vectoriel de E.
Exercice 6.3.
Énoncer et démontrer le théorème du rang en dimension finie.
Exercice 6.4 (Formule de Grassman).
Énoncer et démontrer la relation entre les dimensions de la somme de deux espaces
vectoriels et de leur intersection.
Exercice 6.5.
La fonction f (x) = sin(x)2 cos
1
x
est-elle intégrable sur R ?
Exercice 6.6.
Siot n
un entier naturel
non nul. Étudier la convergence et la somme de l’intégrale
R +∞
In = 0 exp −x1/n dx.
Exercice 6.7.
R +∞
Étudier la convergence de l’intégrale J = 0
8
sin(x)2
x
dx.
7 Applications linéaires – Matrices – Valeurs propres et
vecteurs propres
Exercice 7.1.
Soit B et B 0 deux bases d’un espace vectoriel E. Donner la matrice M tel que, pour tout
X ∈ E, M matB (X) = MB0 (X).
Exercice 7.2.


1 0 1
Calculer l’inverse de N = 0 −1 1 .
1 2 0
Exercice 7.3.
Définir les sous-espaces propres, les vecteurs propres et les valeurs propres d’un endomorphisme d’espace vectoriel.
Exercice 7.4.
Caractériser les homothéties, les symétries et les projections en fonction de leurs valeurs
propres et de leurs sous-espaces propres.
Exercice 7.5.
Montrer que la relation ≡ définie sur Mn (K) telle que M ≡ N si et seulement si M et
N sont semblables est une relation d’équivalence (i.e. une relation réflexive, symétrique
et transitive).
Exercice 7.6.
Soit v1 , . . . , vk des vecteurs propres d’une matrice M ∈ Mn (R) associés aux valeurs
propres réelles λ1 < · · · < λk . Montrer que la famille (v1 , . . . , vk ) est libre.
Exercice 7.7.
Trouver les valeurs propres et les espaces propres de l’opérateur dérivation ∆ sur l’espace
vectoriel R[X]. Qu’en est-il si on se situe dans l’espace vectoriel C ∞ (R, C) ?
9
8 Déterminants
Exercice 8.1.
Les vecteurs u1 = (1, 0, 1), u2 = (0, −1, 1) et u3 = (1, 2, 0) forment-ils une base de R3 ?
Exercice 8.2.
Soit f, g deux endomorphismes d’un espace vectoriel E de dimension finie. Exprimer
det(f ◦ g) en fonction de det(f ) et de det(g). Si f est inversible, exprimer également
det(f −1 ) en fonction de det(f ).
Exercice 8.3.
Soit A, B ∈ Mn (K) deux matrices carrées. Exprimer det(AB) et det(A> ) en fonction
de det(A) et de det(B). Si A est inversible, exprimer également det(A−1 ) en fonction de
det(A).
Exercice 8.4.
On admet qu’il existe un réel λ tel que les matrices A =
7 −3
10 −4
1 0
et D =
0 λ
soient semblables. Calculer λ.
Exercice 8.5.
A B
∈ M2n (K).
Soit A, B, C ∈ Mn (K) trois matrices carrées, ainsi que D =
0 C
Montrer que D est inversible si et seulement si A et C le sont.
Exercice 8.6.
Q3
P Q 3
m
.
m
−
Soit M = [mi,j ]1≤i,j≤3 . Montrer que det(M ) = 2i=0
j,i+2j
j,i+j
j=1
j=1
10
9 Trace des endomorphismes – Réduction des
endomorphismes – Diagonalisation
Exercice 9.1.
Soit A et B deux matrices n × n. Montrer que tr(AB) = tr(BA).
Exercice 9.2.
Soit A une matrice dont le polynôme caractéristique est X 2 − 7X. Montrer que A est
diagonalisable et donner une matrice diagonale D semblable à A.
Exercice 9.3.
Soit A ∈ Mn (C) une matrice dont le polynôme caractéristique est X n − 1. Montrer que
A est diagonalisable dans Mn (C).
Exercice 9.4. 0 1
La matrice A =
est-elle diagonalisable ?
0 0
Exercice 9.5P(Matrice compagnon).
n+1+k p X k + X n un polynôme scindé à racines simples. Montrer
Soit P (X) = n−1
k
k=0 (−1)


0 0 0 ...
p0
1 0 0 . . .
p1 


0 1 0 . . .

p
2


que la matrice A = 0 0 1 . . .
est diagonalisable.
p3 


. . . .
.. 
..
 .. .. ..
. 
0 0 0 ...
pn−1
Exercice 9.6 (Matrice à diagonale dominante).
P
Soit A ∈ Mn (K) une matrice telle que ∀i ∈ {1, 2, . . . , n}, 2|Ai,i | > nj=1 |Ai,j |. Montrer
que A est inversible.
Exercice 9.7 (Matrice stochastique).
P
Soit A ∈ Mn (K) une matrice telle que ∀j ∈ {1, 2, . . . , n}, ni=1 Ai,j = 1. Montrer que 1
est une valeur propre de A.
Exercice 9.8.
Soit A et B deux matrices n × n. Montrer que, si A et B sont semblables, alors det(A) =
det(B) et tr(A) = tr(B). Que dire de la réciproque ?
Exercice 9.9.
Montrer que A =
7 −3
et donner une matrice diagonale D semblable à A.
10 −4
11
10 Applications de la réduction des endomorphismes –
Équations différentielles d’ordre 1 à coefficients
constants
Exercice10.1.
1 3
Soit A =
. Calculer A2012 .
0 2
Exercice 10.2.
Résoudre l’équation différentielle suivante :
f 0 (t)
3 0
t
1
=
f (t)+
, avec f (0) =
.
0 0
1
2
Exercice 10.3.
Résoudre l’équation différentielle suivante : f 00 (t) − 5f 0 (t) + 4f (t) = 3 exp(t) sin(t), avec
f (0) = f 0 (0) = 0.
Exercice 10.4.
Soit A ∈ Mn (C). Montrer que l’ensemble des solutions de l’équation f 0 (t) = Af (t)
est un espace vectoriel. Quelle est sa dimension ? On prouvera le résultat en supposant
successivement A diagonale ; diagonalisable ; trigonalisable.
Exercice 10.5.
Soit A ∈ Mn (C) une matrice diagonalisable. Montrer que :
– si toute valeur propre λ de A est telle que Re(λ) < 0, alors les solutions de l’équation
différentielle f 0 (t) = Af (t) vérifient toutes lim+∞ f = 0 ;
– si A admet une valeur propre λ telle que Re(λ) > 0, alors il existe une solution f à
l’équation différentielle f 0 (t) = Af (t) telle que lim+∞ |f | = +∞.
12
11 Suites numériques à valeurs réelles ou complexes –
Séries numériques
Exercice 11.1.
Étudier la convergence de la suite (un ) telle que u0 = 1 et un+1 = sin(un ).
Exercice 11.2.
Que dire de la convergence des suites adjacentes ? Des suites monotones bornées ?
Exercice 11.3. P
Montrer que si n≥0 un est une série convergente, alors un → 0. Que dire de la réciproque ?
Exercice 11.4.
Montrer que les deux énoncés suivants sont équivalents :
1. toute suite monotone bornée converge ;
2. toutes les suites adjacentes convergent, de même limite.
Exercice 11.5.
Soit (un ), (vn ) et (wn ) trois suites telles que u0 ≥ v0 ≥ w0 > 0 et un+1 =
1
vn+1 = (un vn wn ) 3 et wn+1 =
3
1
+ v1 + w1
un
n
n
un +vn +wn
,
3
.
1. Montrer que (un ), (vn ) et (wn ) sont bien définies.
2. Montrer que un ≥ vn ≥ wn .
3. Montrer que (un ) et (wn ) sont des suites adjacentes.
4. Montrer que (un ), (vn ) et (wn ) convergent vers la même limite.
Exercice 11.6 (ENSAM 2006).
Soit fn (x) = exp(−nx) − nx.
1. Montrer que fn admet une unique racine un dans ]0, 1[.
2. Montrer que un décroit, et trouver sa limite.
3. Que dire de nun ?
Exercice 11.7 (Ensemble de Mandelbrot).
Soit c un nombre complexe, et (zn ) la suite telle que z0 = 0 et zn+1 = zn2 + c. Montrer
que la suite |zn | est bornée si et seulement si elle est majorée (au sens large) par 2.
Exercice 11.8 (Fractions continues – d’après Cachan 2006).
Soit (sn ) une suite d’entiers naturels non nuls et S l’ensemble des suites (un ) telles que
un+2 = sn un+1 + un et S0 l’ensemble des suites (un ) ∈ S de limite nulle. Soit c un réel
et (an ), (bn ), (cn ) ∈ S telles que a0 = b1 = c0 = 1, a1 = b0 = 0 et c1 = x.
1. Quelle est la dimension de S ?
2. Soit wn = an bn+1 − an+1 bn : exprimer wn+1 en fonction de wn puis de n.
3. Montrer que bn → +∞.
13
4. Soit dn = abnn , pour n ≥ 1. Observer dn+1 − dn et en déduire que dn converge vers
une limite δ.
5. On pose fn : x → cn . Montrer que fn est une application affine croissante, dont on
donnera une équation en fonction de (an ) et (bn ).
6. Montrer que, si on prend x = −δ, alors (cn ) ∈ S0 .
7. Quelle est la dimension de S0 ?
14
12 Suites numériques à valeurs réelles ou complexes –
Séries numériques
ExerciceP12.1. n
La série n≥1 sin (−1)
est-elle convergente ? Absolument convergente ?
n
Exercice 12.2.
Toute série absolument convergente est-elle convergente ? Toute série convergente est-elle
absolument convergente ?
Exercice 12.3.
Soit
P (un ) la suite telle que un = 1 si n est le carré d’un entier et un = 0 sinon. La série
n≥0 un est-elle convergente ?
Exercice 12.4.
2
Soit K > 0 unPréel et (un ), (vn ) deux suites positives réelles
Ptelles que un ≤ Kvn ≤ K un .
Montrer que n≥0 un est convergente si et seulement si n≥0 vn est convergente.
Exercice
2009).
P 12.5 (ENSAM
P
a
et
b
deux séries convergentes à termes positifs. Montrer que
Soit
n
n
n≥0
n≥0
P
max{a
,
b
}
converge.
n n
n≥0
Exercice 12.6 (Cachan 2010).
Soit (un ) et (vn ) deux suites telles que u0 > v0 > 0 et un+1 =
u2n
un +vn ,
vn+1 =
2
vn
un +vn .
1. Montrer que (un ) et (vn ) sont bien définies.
2. Montrer que (un ) et (vn ) convergent.
3. Montrer que lim un > lim vn = 0.
Exercice 12.7.
P
Montrer qu’il existe deux
Psuites complexes (un ) et (vn ) telles que un ∼ vn , que Pn≥0 un
soit convergente et que n≥0 vn soit divergente. Est-il possible que, en outre, n≥0 un
soit absolument convergente ?
Exercice 12.8.
P
Montrer que nk=1 sin
1
k
∼ ln(n).
15