TD 6 Moment cinétique

PH1ME2-C
Université Paris 7 - Denis Diderot
2012-2013
TD 6
Moment cinétique
1. Force centrale ∗
1. Définir une force centrale.
2. Donner les propriétés du moment cinétique d’une masse ponctuelle uniquement soumise
à un champ de force centrale.
3. Parmi les courbes planes ci-dessous, quelles sont celles qui ne peuvent pas être la trajectoire d’une particule soumise à un champ de force centrale dont le centre serait en
O?
2. Bobine ∗
Une bille lancée horizontalement avec une vitesse V0 est attachée à un
fil qui s’enroule autour d’un poteau fixe vertical de rayon a. Le moment
cinétique de la bille est-il conservé ? (on pourra négliger la force de
gravité)
3. Chute libre ∗
Dans le champ de pesanteur terrestre, on lance une masse ponctuelle, m, représentée par le
→
−
point M , à partir d’un point O, avec une vitesse horizontale V0 pointant vers les x positifs. On
néglige tout frottement.
1. Exprimer le moment par rapport à O des forces agissant sur la
masse m à chaque instant.
2. Calculer le moment cinétique de la masse m par rapport à O, à
l’instant t après le lancement.
3. Vérifier le théorème du moment cinétique à partir des résultats
obtenus.
4. Le pendule simple ∗
Établir, en utilisant le théorème du moment cinétique, l’équation différentielle du mouvement plan d’une masse ponctuelle m suspendue à l’extrémité d’un fil inextensible, sans
masse, de longueur l et dont l’autre extrémité est fixée en O. Résoudre cette équation dans
l’approximation des petits angles en considérant que la masse ponctuelle a été lâchée sans
vitesse initiale d’un angle θ0 par rapport à la verticale.
5. Gonds ∗
1. Pourquoi la poignée d’une porte de longueur h et de largeur L est-elle le plus loin possible
de l’axe des gonds ?
2. Rappeler le lien entre pression du fluide et force exercée par ce fluide sur un élément de
surface dS.
3. Quel est le moment total de la force du vent lorsqu’il exerce une pression uniforme perpendiculairement à cette porte ?
6. Calculs de moments d’inertie ∗
1. Calculer le moment d’inertie I, par rapport à son axe de symétrie, d’un cylindre homogène
de masse m et de rayon R.
2. Calculer le moment d’inertie I d’une tige rectiligne de section négligeable, de masse m et
de longueur l par rapport à un axe orthogonal passant par l’une de ses extrémités.
3. Calculer le moment d’inertie, par rapport à l’un de ses diamètres, d’un disque homogène
de rayon R et de masse m.
7. Le manège ∗
Un manège, assimilé à un disque circulaire horizontal de rayon R et de masse M , tourne
sans frottement autour de son axe de symétrie vertical ∆. Un homme de masse m supposé
→
−
ponctuel, se déplace sur ce manège le long d’un cercle de rayon r avec une vitesse angulaire ω ′
par rapport au manège. L’homme et le manège sont initialement immobiles.
2
1. Montrer que le moment cinétique du système (homme + manège) par rapport à ∆ est
conservé.
2. Donner le moment d’inertie d’un disque par rapport à son axe de rotation.
→
−
→
3. En déduire les vitesses angulaires du manège Ω et de l’homme −
ω par rapport au sol en
→′
−
fonction de ω , m, M , r et R.
4. Que se passe-t-il si le manège est :
i) très lourd (devant quoi ?) ?
ii) très léger ?
8. Poulie ∗∗
Une poulie homogène assimilée à un disque homogène (de masse M , de rayon R et de
moment d’inertie I par rapport à son axe) peut tourner autour de son axe horizontal maintenu
fixe. Deux masses M1 et M2 , initialement immobiles, sont suspendues de part et d’autre de cette
poulie par un fil inextensible de masse négligeable. Le contact fil-poulie a lieu sans glissement
(il n’y a donc pas de dissipation d’énergie).
1. En utilisant le théorème du moment cinétique, déterminer
→
l’accélération −
a1 de la masse M1 , en fonction des données du
problème.
2. Déterminer les différentes forces appliquées à la poulie et aux
deux masses.
3. Que deviennent ces résultats si :
i) M1 = M2 , quel que soit I
ii) M ≪ M1 et M2 ?
4. Déterminer la valeur de l’accélération dans le cas où M2 =
2M1 lorsque :
i) M est négligeable
ii) M = M2 .
9. Plan incliné: roulement sans glissement ∗∗
Un disque homogène de masse, m, et de rayon r roule sans glisser en suivant une ligne de
plus grande pente d’un plan incliné faisant un angle α avec l’horizontale.
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1. Représenter les forces qui s’appliquent sur le disque.
2. Lier la vitesse du point O’ et la vitesse angulaire du disque.
3. Donner la vitesse du point C du disque, point du disque en
contact avec le plan, dans les référentiels O’x’y’ et Oxy. Que
dire des forces de frottements et de la dissipation d’énergie ?
4. Déterminer l’accélération du centre de masse du disque par
deux méthodes différentes.
Même question si l’on remplace le disque par un cerceau de même rayon et de même masse.
Lequel des deux aura la plus grande accélération sur le plan incliné précédent ?
10. Echelle ∗∗
Une échelle de longueur L = 4 m et de masse m = 20 kg, s’appuie en A sur le sol horizontal
(coefficient de frottement statique µA = 0.4) et en B sur un mur vertical (sans frottement). Le
centre de masse G de l’échelle est situé au tiers inférieur de sa hauteur.
1. Jusqu’à quelle inclinaison par rapport à l’horizontale, θmin , l’échelle peut-elle rester en
équilibre ?
2. Jusqu’où un homme de masse M peut-il monter sur l’échelle inclinée de θ = 60◦ par
rapport à l’horizontale ? Pour quelles valeurs de θ peut-il atteindre le haut de l’échelle?
(A.N. : M = 80 kg)
3. Comment le résultat de la question 1) serait-il modifié si l’on tenait compte des frottements
en B sur le mur, caractérisés par µB ?
(Rép.: Si µB = µA = 0.4, θmin = 29.5◦ )
11. Mouvement d’une toupie ∗∗∗
1. Rappeler la définition du moment d’inertie I d’un solide de
masse volumique ρ, par rapport à un axe ∆. Si ∆ est un axe
de symétrie du solide, rappeler la relation entre le moment
→
−
cinétique J /O (où O est un point de l’axe ∆) et le vecteur
→
−
→
−
→
−
rotation angulaire Ω colinéaire à ∆. (Rép. : J /O = I Ω )
2. Une toupie, assimilée à un cône de révolution de moment
d’inertie I, tourne autour de son axe de symétrie ∆ avec
une vitesse angulaire Ω. ∆ fait un angle θ avec la verticale
Oz. ∆ tourne avec une vitesse angulaire ω autour de l’axe z.
On suppose que le point de contact O avec le sol reste fixe
au cours du mouvement. Donner l’expression du moment
→
−
cinétique J /O de la toupie dans le cas où Ω est élevée (on
précisera devant quoi) et le dessiner. Représenter les forces appliquées à la toupie. Écrire
le théorème du moment cinétique.
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3. Quel est le mouvement de la toupie ? Pour ce calcul, on utilisera le théorème du moment
cinétique. Quelle est la vitesse angulaire de précession ω de la toupie ?
(Rép. : ω = M gl/IΩ où l est la distance de O au centre de gravité G)
12. Théorème de Huygens ∗∗∗
1. Montrer que le moment d’inertie d’un objet quelconque, de
masse M , par rapport à un axe quelconque D, est donné
par : ID = IDG + M l2 où IDG est le moment d’inertie de
l’objet par rapport à l’axe DG parallèle à D passant par le
centre de masse G de l’objet et l est la distance entre D et
DG .
2. On rappelle que le moment d’inertie d’un disque homogène
(rayon R, masse m) par rapport à l’un de ses diamètres est
Io = mR2 /4. En déduire le moment d’inertie ID d’un cylindre homogène (masse M , rayon R, hauteur h) par rapport à
un axe D orthogonal à son axe de symétrie qu’il coupe à la
distance l de son centre de masse (l pouvant être supérieur
ou inférieur à h/2).
Rép. : I = M (l2 + h2 /12 + R2 /4)
3. Le cylindre est fixé au bout d’une tige sans masse de longueur l − (h/2), c’est à dire que
la distance du centre de gravité à l’axe est égal à l. On écarte la tige d’un angle θ par
rapport à la verticale : écrire l’équation différentielle pour θ(t). Calculer la période T
dans l’approximation des petites oscillations. To désignant la période d’un pendule simple
de masse M et de longueur l, calculer (T − To )/To .
AN : l = 20 cm, M = 55 g, R = 1.5 cm, h = 3 cm.
Rép. : T /T0 = 1 + h2 /(24l2 ) + R2 /(8l2 ) si R et h ≪ l.
4. Question Bonus : On suppose que la masse m de la tige n’est plus négligeable. Donner
l’expression de T . Tracer l’allure du graphe de T (l).
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