Logique

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TD n˚6 : Sémantique de Kripke
Exercice 1 :
Donnez des contre-modèles de Kripke aux propositions suivantes :
• ¬¬X ⇒ X
• ¬X ∨ ¬¬X
• ¬(¬X ∧ ¬Y ) ⇒ X ∧ Y
• (¬X ⇒ ¬Y ) ⇒ (Y ⇒ X)
• (X ⇒ Y ) ⇒ ((¬X ⇒ Z) ⇒ ((Y ⇒ Z) ⇒ Z))
Exercice 2 :
On dit qu’un connecteur binaire ⊗ est indépendant d’un ensemble de connecteurs C s’il
n’existe pas de formule A avec variables libres X et Y et ne contenant que des connecteurs
de C telle que
`i (X ⊗ Y ) ⇔ A
1a) Montrez que pour toute proposition A et toute proposition B, ` ¬¬(A ∧ B) ⇔ (¬¬A ∧
¬¬B) et `i ¬¬(A ⇒ B) ⇔ (¬¬A ⇒ ¬¬B).
1b) Montrez que si ∨ n’est pas indépendant de {⊥, ∧, ¬, ⇒} alors `i ¬¬(A ∨ B) ⇔ (¬¬A ∨
¬¬B).
1c) Concluez.
On considère la structure de Kripke K = (W, α) suivante : elle a trois monde W =
{ω1 , ω2 , ω3 } avec ω1 ≤ ω3 et ω2 ≤ ω3 et α(ω1 ) = {X}, α(ω2 ) = {Y } et α(ω3 ) = {X, Y }.
2a) Montrez que pour toute proposition A ne contenant que X, Y , ⊥, ¬, ∨ et ⇒, si ω3 |= A
alors ω1 |= A ou ω2 |= A.
2b) Déduisez que ∧ est indépendant de {⊥, ∨, ¬, ⇒}.
Exercice 3 :
Soit K la structure de Kripke dont les mondes sont les interprétations partielles i.e. les couples
(I, f ) où I est sous-ensemble de variables et f : I −→ {0, 1}, ordonnées par (I, f ) v (J, g) si et
seulement si I ⊆ J et pour tout x ∈ I, f (x) = g(x) et telle que α(I, f ) = {x ∈ I | f (x) = 1}.
1) Montrez que K réfute X ∨ ¬X.
2) Donnez une formule A non prouvable en logique intuitionniste telle que K satisfait A.
Exercice 4 :
Soit A une formule propositionnelle démontrable en logique classique (ou tautologie). On
note F2 l’ensemble ordonné ω1 ≤ ω2 . On appellera structure de base F2 toute structure de
Kripke dont l’ensemble ordonné sous-jacent est F2 . On note LI + A l’ensemble de formules
démontrables en ajoutant à la déduction naturelle intuitionniste la règle suivante :
` A[X1 ← B1 , . . . , Xn ← Bn ]
Par exemple, LI + (X ∨ ¬X) est exactement l’ensemble LC des formules démontrables en
logique classique.
Le but de l’exercice est de démontrer le théorème de Yankov : pour toute tautologie A,
LI + A = LC si et seulement si A est réfutée dans une structure de base F2 .
1) Montrez que si LI + A = LC alors A est réfutée dans une structure de base F2 . Vous
pourrez utiliser le contre-modèle de ¬¬X ⇒ X obtenu à l’exercice 1.
2) Soit la structure K = (F2 , α) telle que α(ω1 ) = ∅ et α(ω2 ) = {X}. Supposons que A n’a
qu’une variable X. Montrez que si A est réfutée dans K alors toute structure K 0 = (W 0 , α0 )
qui satisfait A vérifie que si pour un certain ω ∈ W 0 , X ∈
/ α0 (ω) alors pour tout ω 0 ≥ ω,
X∈
/ α(ω 0 ).
3) Déduisez que si A est une formule avec une seule variable X et que si K réfute A alors
A `i ¬¬X ⇒ X.
4) Soit A une proposition dont les variables sont X1 , . . . , Xn . Montrez que si A est réfutée
dans une structure de base F2 alors il existe des formules B1 , . . . , Bn n’ayant que X comme
variable et telles que K réfute A[X1 ← B1 , . . . , Xn ← Bn ].
5) Déduisez le théorème de Yankov.
6) Déduisez que si A1 , . . . , An sont des tautologies et que si LI + A1 ∧ . . . ∧ An = LC alors
il existe un i ∈ {1, . . . , n} tel que LI + Ai = LC.
Exercice 5 :
On appelle arithmétique de Heyting, la théorie intuitionniste dont les axiomes sont ceux
de Peano i.e. dont les théorèmes sont les formules démontrables en logique intuitionniste à
partir des axiomes de Peano. On note HA `i A lorsque A est un théorème de l’arithmétique
de Heyting.
1) Montrez que l’arithmétique de Heyting est à égalité décidable i.e. que
HA `i ∀x. ∀y. (x = y ∨ x 6= y).
2) Le but ici est de montrer que l’arithmétique de Heyting a la propriété du témoin i.e.
que si HA `i ∃x. A, alors il existe un entier n tel que HA `i A[x ← n] où n est le terme
S n (0) = S(. . . (S(0))). Nous allons raisonner par l’absurde. Supposons que pour tout entier
n, HA 6`i A[x ← n]. Alors, pour tout n, il existe une structure de Kripke Kn telle que Kn
satisfait les F
axiomes de Peano mais réfute A[x ← n]. On construit la structure de Kripke
K = {ω}t
Kn avec ω plus petit que tous les éléments des Kn , Dω = N, S est interprété
n∈N
comme la fonction successeur, 0 comme 0, + comme l’addition, × comme la multiplication
et = comme l’égalité.
a) Vérifiez que K est bien une structure de Kripke.
b) Vérifiez que K, ω 6|= ∃x. A.
c) Vérifiez que K satisfait les axiomes de Peano. Vous pourrez vous limiter au schéma de
récurrence.
3) On veut montrer maintenant que si HA `i A ∨ B alors HA `i A ou HA `i B.
a) Montrez que pour toutes formules A et B ne contenant pas la variable x,
HA `i (A ∨ B) ⇔ ∃x. (x = 0 ⇒ A) ∧ (x 6= 0 ⇒ B)
b) Concluez.