MAT3632 : théorie des nombres, automne 2013

MAT3632 : théorie des nombres, automne 2013
Exercices, VI (Résidus quadratiques, équations diophantiennes)
∑ ( )
Problème 1. Si p > 2 est un nombre premier, montrez que pa=1 ap = 0.
Problème 2. Soit p > 2 un nombre premier.
∑p ( x2 +x )
(a) Au deuxième intra, on a vu que
= −1. Utilisez cette formule pour
x=1
p
montrez que
)
p ( 2
∑
x −1
= −1.
p
x=1
( )
d
(b) Si p = −1, montrez que
)
p−1 (
∑
dx2 − 1
x=1
p
+
)
p−1 ( 2
∑
x −1
p
x=1
(
= −2
−1
p
)
.
[Indication : Montrez que les nombres dx2 et x2 , 1 ≤ x ≤ p − 1, couvrent exactement
deux fois l’ensemble {1, 2, . . . , p − 1} modulo p.]
Déduisez que
)
p (
∑
dx2 − 1
= 1.
p
x=1
(c) Pour tout a, b ∈ Z, montrez que
) {
p ( 2
∑
x + ax + b
−1
si p ∤ a2 − 4b,
=
p
p − 1 si p|a2 − 4b.
x=1
Problème 3.
(a) Montrez que un nombre premier p > 2 peut être écrit comme x2 + 2y 2 , où x, y ∈ N,
si et seulement si p ≡ 1, 3 (mod 8).
(b) Montrez que si p|a2 + 2b2 avec (a, b) = 1, alors soit p = 2 soit p ≡ 1, 3 (mod 8).
(c) Déterminez quels sont les nombres naturels n qui peuvent s’écrire dans la forme
x2 + 2y 2 .
Problème 4.
(a) Trouvez tous les triplets pythagoriciens qui forment une progression arithmétique.
(b) Trouvez toutes les solutions entières à l’équation x2 +y 2 = z 4 sachant que (x, y, z) = 1.
Problème 5. (Exercices 12, 13 et 16, page 126 du manuel)
(a) L’équation x4 + x2 = y 4 + 5 possède-t-elle des solutions entières en x et y ?
(b) Résolvez le système suivant :
2x(1 + y + y 2 ) = 3(1 + y 4 )
2y(1 + z + z 2 ) = 3(1 + z 4 )
2z(1 + x + x2 ) = 3(1 + x4 )
(c) En utilisant la méthode de la descente infinie de Fermat, démontrer que
x3 + 3y 3 = 9z 3
=⇒
1
xyz = 0.