Topologie sur l`ensemble des compacts non vides d`un

Séminaire Choquet.
Initiation à l’analyse
J EAN S AINT-R AYMOND
Topologie sur l’ensemble des compacts non vides d’un espace
topologique séparé. Exemple de complémentaire analytique
non analytique dans un espace polonais
Séminaire Choquet. Initiation à l’analyse, tome 9, no 2 (1969-1970), exp. no 21, p. 1-6
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Séminaire CHOQUET
(Initiation à l’analyse)
9e année, 1969/70, n° 21, 6 p.
21-01
4 juin 1970
TOPOLOGIE SUR L’ENSEMBLE DES COMPACTS NON VIDES
D’UN ESPACE TOPOLOGIQUE SÉPARÉ.
EXEMPLE DE COMPLÉMENTAIRE ANALYTIQUE
ANALYTIQUE DANS UN ESPACE POLONAIS
par Jean SAINT-RAYMOND
NON
Soit X
des de
un
X ~
où les
espace
topologique séparé. Soit
que l’on munit de la
KX
l’ensemble des
topologie (séparée) engendrée
sont ouverts. On montre aisément
compacts
vi-
non
par les
chap. 1, § 9,
ex.
14)
que :
(i) x ~ (x) est un homéomorphisme de X sur son image, fennée dans KX ;
(ii) Si Y est un sous-espace de X, KY est un sous-espace de KX ;
dans KX ;
(iii) (H , H~) ~2014~ H u H est continue de (KX)
(iv) KX est séparable si, et seulement si, X l’est ;
(v) Si (H ) est une suite croissante de compacts, et si
est compact,
est limite de la suite (H ) .
x
H
Si la
de
X
est définie par
est
ex.
ce
KX
sur
métrique complet
est
un
est
,
est
un
espace
topologie
par les
où
distance, la distance de
correspondante (cf. [2], § 2,
ex.
métrique complet,
espa-
une
KX
est
un
pour la distance de Hausdorff.
topologique polonais,
topologique polonais.
un
espace
est définie par
définit la structure uniforme
On montre aisément que, si X
Si X
la
6).
Si la structure uniforme de X
Hausdorff
engendrée
U,
l’entourage,
(cf. [l], chap. II, §2,
6).
structure uniforme
une
est définie par la structure unifonne
KX
de
topologie
espace
il découle de
ce
qui précède que KX
,
1. THEOREME. -
Si X
est
un
espace uniforme
complet, l’espace uniforme
KX
est
complet.
On peut remarquer
espace fermé de
que X est isomorphe (cf. [l], chap. 2, § 2, ex. 6) à un sousKX, donc complet, si KX est complet. Le théorème donne donc, en
fait,
Démonstration. - Si
nous
de montrer
S
semble
.
pour tout
On
est
qu’il
X. Il existe
de
a
X
est
et si S
complet,
est
un
soit
complet.
filtre de
Cauchy
K ,
sur
poserons
est fermé dans
C
KX
condition nécessaire et suffisante pour que
une
un
V
V
Soit
dans S
U
de
H
est
compact,
de la structure
entourage
un
entourage symétrique
petit, d’ordre
compact H’ dans S ~ on
C
Pour montrer que
X, donc complet.
précompact. Soit
unifome U
et
tel que
un
il suffit
un en-
compact appartenant à S ;
a
donc
Comme
H
est
précompact,
il existe
un
(x ,
ensemble fini
... y
x ) dans H ,
tel que
Les ensembles
V (x.)
sont
petits, d’ordre V .
tits, d’ordre V , ce qui
donc
C
entourage de
et si
H
U . Nous
appartient
à
Pour démontrer que
gence de S
vers
est inclus dans
C,
C
puisque
est donc recouvert par
montre
Montrons maintenant que
un
petits, d’ordre
est
avons
qu’il
est
non
vide,
déjà
vu
un
précompact,
et
que, si
S..
est
symétrique,
nombre fini d’ensembles pe-
donc
que
V
compact.
converge
E 5
est
vers
C . Soit
petit, d’ordre
V~
W(V0) ,
S0 ,
S..
est inclus dans
W(V~).(c) ~
il reste à démontrer que tout
V..(c) ,
ce
qui démontrera aussi que
qui
compact
ce
C
assurera
H..
la conver-
appartenant
à
S..
n’est pas vide. Il suffit
donc de
si
montrer,
V~
est
symétrique,
que, pour tout
point
de
x0
C
ren-
contre
Soit
(H,
S
appartenant à ,
H~) W(v0) ,
E
~(S
de. Comme
forme
on a
S’)
n
H
sur
compact appartenant à
un
iTd(~(S~) .
E
~(S)
est inclus dans
base de filtre
une
x~
et soit
X . Soit 8
n
un
Donc
~(St) ,
VO(xo)
S
Comme
n
n’est pas vi-
n
la famille des
ultrafiltre
plus fin que cette base
de filtre.
On
va
démontrer que 8
possédera
une
limi t e ~ 1 ,
Ceci montrera que
est
un
filtre de
Cauchy ; puisque
contient
rencontre
de
C ~
est
Hl
On
a
précompact,
complet,
8
et achèvera la démonstration.
X
partie
petite, d’ordre
appartenant à ~ petite, d’ordre V , et H
une
est
qui appartiendra à
Il suffit pour cela de démontrer que, pour tout
8
X
il existe
un
ensemble fini
entourage symétrique
V6 .
un
Soient alors
S
V
une
de
H- ,
partie
compact appartenant à
{y1 ,
S . Comme
H1 , tel que
dans
... ,
alors
Comme G
des
un
qui
Cauchy,
2. -
est
V.
contient l’un
8
est
un
filtre de
et achève la démonstration.
X
Soit
ultrafiltre plus fin que
n
est petit d’ordre
Ceci montre que
peut être paracompact,
sans
que
KX
soit
paracompact, ni même
normal.
Y
l’espace topologique obtenu en munissant la droite réelle ~ de la topologie engendrée par les intervalles )a , b). On démontre ~ cf . ~ 2 ~! § 5, ex. 16)
que Y est paracompact, et que Y x Y n’est, ni paracompact, ni màne normal.
Soit alors
compact.
X
X
l’ espace produit
est donc
de
Y
paracompact. Posons
par
l’espace
discret
(0 , 1~ qui
est
On vérifie immédiatement que
espace fermé de
KX. Si
ce
f
est
homéomorphisme
un
dernier était
normal,
il
en
de
Y
x
Y
sur un sous-
serait de même de
Y
Y ,
x
d’où la contradiction.
que KX soit lusinien, ni même sousiinien. Plus
précisément, le sous-espace KQ de l’espace polonais KR est le complémentaire
d’une partie souslinienne, et n’est pas souslinien.
peut être
3. - X
lusinien
sans
(a)
KQ est le complémentaire d’une partie souslinienne. - Soit G
espace de R formé des nombres irrationnels ; G est polonais. Soit
G
formé des couples ~~. f H) tels que X
est de même de KR , donc aussi de G x (KR)
le sous-
F
le
sous-
H . Comme
R est
. L’application
polonais, il en
et F ~ ensemble
g : (~ , H) ~ ~~~ u H est continue de G x (KR) dans
des couples (03BB , H) tels que g(03BB , H)
H , est fermé dans G x KR , donc polonais. Sa projection sur KR est l’ensemble des compacts de R qui rencontrent G ~
donc le complémentaire dans KR de KQ , et c’ est une partie souslinienne.
espace
de
x
E
=
(b)
KQ n’est pas souslinien. - En vertu du théorème de séparation des ensembles
sousliniens, et de ce qui précède, si KQ était souslinien, il serait borélien
qu’il existe dans Né une partie Z souslinienne et non
borélienne (par exemple, la trace sur la diagonale de J x J d’un ensemble analytique universel dans J x1.). On va construire une application borélienne f de J
dans
E~ .
dans
Or
on
sait
telle que
rait de même de
une
=
Z . Si
ainsi que de
KQ
son
était borélien dans
complémentaire Z ~
ce
KR , il
en se-
qui établirait
contradiction.
Soit S
nent
à ~ ~
l’ensemble des suites finies
nous
poserons
poserons de même
suite infinie
vé de
(j.
s ~
s
s’
si
Si
d’entiers 1 .
s
est
si la suite finie
une
s
section
est
une
s
et
s’
commençante de
appartiens’ . Nous
section commençante de la
Nous considérerons dans toute la suite
l’ ensemble N
comme
pri-
0 .
Soit j
l’application de £ u ~ dans R qui, à une suite finie ou infinie
d’entiers >,.1 , associe le nombre réel compris entre 0 et 1 qui admet cette
suite comme suite des quotients incomplets de son développement en fraction continue.
On
a
admet une base formée d’ouverts fermés.
topologie
d’un système déterminant régulier d’ ouverts
s s~e)
Z
La
désignerons
Nous
f s (x)
par
et (0 , j(s))
s
si
la fonction
F . Comme
x e
dans
de £
fermé,
propriétés (iii)
et
e st ouvert et
(0)
vaut
qui
s
F
s
est donc le noyau
f
si
est
con-
s
tinue. Posons
f(x) appartient
Donc
plus haut, et
classe de
Soit
tout
du fait que
dans
s
o ~
§
dénombrable,
est
f
s
Z ;
il existe donc
(z)
=
et la définition de
(0 y j(s)) .
que j (cr)
il existe
il existe
réels
>
U
tels que
f (z) .
puisque
On
a
le
Il existe donc
une
un
6
f(z) ,
nombre irrationnel
section commençante de
est
s..
système déterminant
un
tel que
est
régulier.
j(s)
e
J
o e
F .
Alors,
S
pour
j(s) vers j(cr) ,
que f(z) f KQ .
X
dans
telle que
L’ensemble
o .
voisinage de
s..
s >
z ~ ~
et donc
suite infinie
première
~ B Z.
est de
La convergence des réduites
f , entraînent
(iv) rappelées
=
tel que
dans £ ,
o
Inversement, si
appartient à )0 , l( , et
Soit
s~ une suite finie,
x
f
la fonction
donc borélienne. Il reste à montrer que
Baire,
z
En vertu des
à
V
f(z) ~ X
X = j(a) .
des nombres
j(o’) X ~ donc rencontre
(z) ; alors z ~ F
=
f
donc
Ceci achève la démonstration.
La méthode de
(b)
l’aide d’une partie
fonctions
est
inspirée
de
analytique
non
continues
sur
numériques
des fonctions différentiables est
taire est souslinien.
[3],
où S. MAZURKIEWICZ
démontre, également
à
borélienne auxiliaire, que, dans l’espace des
(0, 1)
une
partie
muni de la
non
norme
uniforme, l’ensemble
souslinienne, dont
le
complémen-
21-06
BIBLIOGRAPHIE
[1]
BOURBAKI (Nicolas). - Topologie générale. Chap. 1-2. 3e édition. mann, 1961 (Act. scient. et ind., 1142 ; Bourbaki, 11).
[2]
BOURBAKI (Nicolas). - Topologie générale. Chap. 9. 2e édition. mann, 1958 (Act. scient. et ind., 1045 ; Bourbaki, 8).
[3]
MAZURKIEWICZ
(Stefan). - Über
math., Warszawa,
t.
die Menge der differenzierbaren
p. 244-249.
Paris,
Her-
Her-
Funktionen,
Fund.
27, 1936,
(Texte
Jean SAINT-RAYMOND
Ass. Fac. Sc. Paris
18 rue de Moscou
75 - PARIS 08
Paris,
reçu le 18
juin 1970 )