TD 05 Champ Electrostatique

TD 05
Champ électrostatique
⋆ Calculs de champs et potentiels
3. Le pouvoir des pointes
⋆ Distributions de charge, symétries
1. Découpages usuels
Indiquer pour chaque distribution le découpage adapté aux symétries du problème,
et donner la charge élémentaire correspondante :
1. Distributions linéïques
(a) Fil porté par l’axe (Oz) chargé uniformément en longueur (λ).
(b) Arc de cercle de rayon R chargé uniformément en longueur (λ).
2. Distributions surfaciques
Dans cet exercice on cherche à montrer que, pour un potentiel donné,le champ
à proximité d’une surface est d’autant plus intense que la surface est "pointue",
c’est-à-dire que son rayon de courbure est faible. Ce phénomène s’appelle "pouvoir des pointes" et s’applique particulièrement aux surfaces des conducteurs à
l’équilibre électrostatique dont la surface est équipotentielle.Il explique notamment que la foudre tombe préférentiellement sur des objets pointus.
On modélise le conducteur par une sphère de centre O et de rayon R uniformément chargée en surface, au potentiel V . Afin de relier le champ au voisinage de
la surface et le potentiel, on calcule d’abord le champ créé par une distribution
surfacique homogène de densité σ puis on en déduit le potentiel
(a) Cylindre de rayon R et d’axe (Oz) uniformément chargé en surface (σ).
(b) Disque de rayon R et de centre O uniformément chargé en surface (σ).
(c) Sphère de rayon R et de centre O portant la charge surfacique σ =
σ0 cos θ, avec θ = (Ox, OM ).
(a) Cylindre de rayon R et d’axe (Oz) chargé en volume avec la densité
a
ρ(r, θ, z) = ρ0 .
|z|
(b) Cylindre de rayon R et d’axe (Oz) chargé en volume avec la densité
r
.
ρ(r, θ, z) = ρ0 1 −
R
(c) Sphère de rayon R et de centre O uniformément chargée en volume (ρ).
2. Cube chargé
On considère un cube de centre O et de côté a, chargé sur deux de ses faces
a
a
opposées (en z = − et en z = ) avec des densités surfaciques de charges
2
2
uniformes, mais opposées (respectivement +σ et −σ)
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2. En déduire l’expression du potentiel V (r), en choisissant V = 0 à l’infini.
3. En déduire une relation entre le champ et le potentiel en r = R. Conclure
3. Distributions volumiques
Déterminer les symétries et invariances d’une telle distribution.
1. Calculer le champ électrique créé en un point M extérieur à la sphère (r > R)
et en un point M intérieur à la sphère (r < R).
4. Calcul du champ de pesanteur au sein d’une cavité sphérique
Une sphère (O1 , R1 ), homogène de masse volumique ρ est percée d’un trou
sphérique (O2 , R2 ).
1. Déterminer le champ gravitationnel en un point
M de la cavité.
2. En utilisant l’analogie électrostatique - gravitation, donner le champ électrostatique en un point
M intérieur à une cavité percée dans une sphère
uniformément chargé en volume de charge totale
Q (avant que la cavité ne soit percée).
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R2
O2 M
O1
R1
1
5. Calcul du champ créé par un fil et un cylindre uniformément chargé
en surface
On considère la distribution (D) constituée par la réunion d’un fil infini (Oz)
chargé avec la densité linéique uniforme λ > 0, et d’un cylindre infini de rayon
R, d’axe (Oz), chargé avec la densité surfacique uniforme σ > 0.
~
1. Calculer le champ électrostatique E(M
) en tout point M de l’espace.
~
2. Représenter graphiquement la fonction kE(M
)k en fonction de la coordonnée
d’espace dont elle dépend.
~ pour σ = 7, 11.10−5 C · −2 m. On rappelle que
Calculer kEk
9, 0.109 S.I.
1
=
4πε0
On considère maintenant deux plaques infinies parallèles : A dans le plan yOz
uniformément chargée en surface avec la densité surfacique de charges σ > 0
et B, dans le plan d’équation x = e, chargée avec la densité surfacique de
charges −σ.
~ A et E
~ B créés en tout point de l’espace par les plaques
2. Exprimer les champs E
A et B.
3. Commenter la continuité du champ électrostatique.
6. Modélisation d’un nuage mince
On considère, dans le vide et loin de tout charge, un nuage électrique Π suffisamment étendu pour le considérer d’épaisseur négligeable, d’équation z = h et
chargé avec la densité surfacique constante négative σ.
~ à l’intérieur
3. En utilisant le théorème de superposition, exprimer le champ E
et à l’extérieur des deux plaques. Dessiner quelques lignes de champ.
1. Déterminer le champ électrique créé par le nuage en tout point M de l’espace.
4. Déterminer l’expression de la différence de potentiel VA −VB . Calculer VA −VB
pour σ = 7, 11.10−5 C · −2 m et e = 5, 0 µm.
2. On considère maintenant que le plan (xOy) représentant le sol porte une
densité de charge opposée à celle du nuage. Déterminer le champ total créé
par le sol et le nuage pour 0 < z < h.
5. Sur chacun des plans, isolons deux régions identiques d’aire S en regard. En
déduire la capacité C du condensateur ainsi formé.
3. Déterminer le potentiel total créé par le sol et le nuage pour 0 < z < h
sachant que V (0) = 0.
4. Ce condensateur modélise un nuage carré de 10 km de côté à une hauteur
h = 2 km. Déterminer la capacité du condensateur ainsi formé et effectuer
l’application numérique.
5. On considère maintenant un nuage d’orage. Sachant que lorsque l’éclair se
forme, le champ électrique a une valeur de 25 kV · m−1 , déterminer le potentiel
V0 du nuage.
7. En déduire alors l’expression de la pression électrostatique Pel , celle-ci
étant la force qui s’exerce sur l’unité de surface. Calculer Pel pour σ =
7, 11.10−5 C · −2 m.
8. Anneau chargé
7. Condensateur plan
1. Exprimer le champ créé par une plaque infinie dans le plan (yOz) uniformément chargée en surface avec la densité σ > 0.
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6. Exprimer la force électrostatique F~ qui s’exerce sur la surface S d’une plaque
en fonction de σ, ε0 et S. On en précisera le sens et la direction.
On considère un cerceau d’axe (Oz) et de rayon a, chargé uniformément (densité
linéïque de charge λ).
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2
5. Calculer le flux du champ électrostatique à travers le cylindre représenté sur la
figure précédente et en déduire l’expression de Er (r, z) en fonction de E0 (z)
et/ou de sa dérivée.
6. Justifier le fait que Er (r, z) − Ez (0, z) est au moins d’ordre deux en r.
7. On considère le rectangle ci dessous :
Le champ sur l’axe de l’anneau, en un point M de cote z, est de la forme
→
−
E = E0 (z)~uz . L’expression de la fonction E(z) est ici inutile pour résoudre
l’exercice.
On s’intéresse au champ électrostatique au voisinage de l’axe. On calculer donc le
champ en un point P défini par les coordonnées cylindriques (r, θ, z) avec r ≪ a.
De manière générale,
dr
dz
r
On a choisi ⋆ infiniment petit d’ordre 1 et ⋆ et ⋆ infiniment petits d’ordre
L
L
L
2.
→
−
En calculant la circulation de E le long de ce rectangle, montrer que
Ez (r, z) = Ez (0, z) −
r 2 d2 E0 (z)
4 dz 2
→
−
8. Récapituler l’expression de E (P ) au premier ordre en r, puis au deuxième
ordre en r.
−
→
E (P ) = Er (r, θ, z)~ur + Eθ (r, θ, z)~uθ + Ez (r, θ, z)~uz
1. Montrer, par des arguments de symétrie très précis, qu’en P , Eθ (r, θ, z) = 0.
→
−
2. Montrer que la norme de E (P ) ne dépend que de r et z.
3. Montrer que le flux du champ électrostatique à travers une surface fermée
située au voisinage de l’axe est nul. Que peut-on dire de sa circulation le long
d’un contour fermé ?
r
dz
4. On choisit r et dz tels que ⋆ et ⋆ soient des infiniment petits du preL
L
mier ordre, où L⋆ est la distance caractéristique des variations spatiales des
→
−
composantes du champ E .
⋆ Dipôle électrostatique
9. Molécule de CO2
On considère la molécule de dioxyde de carbone.
1. En étudiant la structure de la molécule, proposer une distribution de charge
équivalente.
2. Déterminer le potentiel créé par cette molécule en un point éloigné.
3. En déduire le champ électrostatique créé par cette molécule en un point éloigné.
10. Cristal de NaCl soumis à un champ
L’application d’un champ électrique à un monocristal de chlorure de sodium se
traduit par des déplacement des ions qui le composent.
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3
→
−
Soit E = E0 ~ux le champ électrostatique imposé aux ions du cristal, par exemple
en appliquant une tension à des électrodes planes plaquées sur les faces opposées
d’un échantillon parallélépipédique. Sous l’effet de ce champ, les ions Na+ se
déplacent en bloc selon (Ox) de δ+ et les ions Cl− de δ− , le centre de masse de
l’ensemble restant immobile. On posera x = δ+ − δ− .
Avant tout déplacement, le moment dipolaire global du cristal est nul par symétrie
de la répartition. On note N le nombre d’ions sodium et chlorure par unité de
volume et e la valeur absolue de la charge de l’électron.
1. Montrer que ces déplacements ioniques se traduisent par un moment dipolaire
→
−
réparti dans le volume du cristal, de densité volumique P = P ~ux et exprimer
P en fonction de la charge élémentaire e, de x et du nombre N de paires
d’ions Na+ ; Cl− par unité de volume.
2. L’expérience montre que la relation entre P et E est linéaire, de la forme
P = ε0 χion E, où χion est un coefficient positif caractéristique du cristal.
(a) En déduire que le groupe d’ions Na+ est soumis à des forces de rappel
→
−
élastique dont la moyenne par ion est de la forme f = −Kx~ux , les ions
Cl− étant soumis à des forces opposées.
(b) Exprimer la constante K en fonction de N , e, ε0 et χion .
→
−
3. Après suppression du champ E , les deux groupes d’ions évoluent librement.
(a) Écrire l’équation du mouvement d’un ion Na+ et celle d’un ion Cl− ; on
désignera par m+ et m− leurs masses respectives.
(b) Montrer que le mouvement relatif des deux ions est une oscillation à
une pulsation ωT que l’on explicitera en fonction de N , e, ε0 , χion , m+
et m− . Pour cela, on fera les combinaisons linéaires des équations du
mouvement des deux ions qui permettent d’obtenir les équations vérifiées
m+ δ+ + m− δ−
par xG =
et par x = δ+ − δ− .
m+ + m−
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Éléments de réponse
1. 1a : dq = λdz ; 1b : dq = λRdθ ;
2a : dq = 2πσRdz ; 2b : dq = 2πσrdr ; 2c : dq = 2πR2 σ0 cos θ sin θdθ ;
a
r
3a : dq = πR2 ρ0 dz ; 3b : dq = 2πhρ0 1 −
rdr ; 3c : dq = 4πρr 2 dr
|z|
R
2. (xOy) : antisymétrie ; (xOz), (yOz) et plans diagonaux : symétrie
→
−
→
−
σR2
3. E (Mint ) = ~0, E (Mext ) =
~er
ε0 r 2
σR
σR2
et V (Mint ) =
V (Mext ) =
ε0 r
ε0
V (M )
au voisinage de la sphère.
E(M ) =
R
−−−→ ~
−−−→
4
1
~
4. G(M
) = − πρGO1 O2 ; E(M
)=
ρq O1 O2
3
3ε0

λ


~er
si r < R,
0r
~
5. E(M
) = 2πε
λ
σR


+
~er si r > R.
2πε0 r ε0 r
Le champ est discontinu en r = R.
→
−
σz
σ
6. Le champ total est E = − ~uz , et le potentiel V (z) =
ε0
ε0
Sε0
= 0, 44 µF ; |V0 | = 50 MV
C=
h 
σ


~ex
si x > 0
~
~ = 4, 0.106 V.m−1
7. E(M
) = 2ε0σ
; kEk

−
~ex si x < 0
2ε0
ε0 S
σe
= 40 V ; C =
VA − VB =
ε0
e
2
σ S
F~A→B = −
~ex = −F~B→A
2ε0
σ2
kF~ k
=
= 2, 9.102 N.m−2
Pel =
S
2ε0
r
8. Le flux est nul d’après le théorème de Gauss. Er (r, z) = − E0′ (z).
2
∂Ez
∂Er
La circulation nulle donne
(r, z) =
(r, z).
∂r
∂z
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→
−
r
Au premier ordre en r : E = − E0′ (z)~ur + E0 (z)~uz .
2
→
−
r
r2
Au deuxième ordre en r : E = − E0′ (z)~ur + E0 (z) − E0′′ (z) ~uz .
2
4
−δa2
9. V (M ) =
3 cos2 θ − 1
3
4πε0 r
3δa2 2θ−1 ~
~
.
3
cos
e
+
2
sin
θ
cos
θ~
e
E(M
)=−
r
θ
4πε0 r 4
→
−
N e2
; G est en translation rectiligne uniforme (ou
10. P = N ex~ux ; K =
s ε0 χion
immobile) ; ωT =
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N e2
.
mε0 χion
5