Introduction à la mécanique des solides CIDO – Saint-Etienne P. Badel Ch. 1 Introduction générale 2 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Notions de système et de modèle Notre environnement est fait de systèmes qui interagissent entre eux • Interactions électriques, • chimiques, • magnétiques, • mécaniques… Grande complexité ! En science, souvent, on ne considère que certaines interactions, on néglige les autres Différentes disciplines de la physique. 3 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Notions de système et de modèle On est toujours amenés à faire des hypothèses, limiter les études On construit des modèles Il s’agit d’interprétations physiques de la réalité - fondées sur des hypothèses, - basées sur des lois mathématiques. ? ⇔ Modèle = représentation imparfaite de la réalité 4 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Objectifs Ce cours est un cours de base à : • l’étude des interactions mécaniques entre solides rigides (en statique) • l’étude mécanique des solides déformables Applications typiques • Robotique, • automobile, • biomécanique musculo-squelettique… 5 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Cadre/contenu de ce cours Applications en 2D essentiellement Partie 1 Etude de l’équilibre statique des particules (ch. 2) Etude de l’équilibre statique des solides rigides (ch. 3 et 4) Etude cinématique des particules et solides (ch. 5) Notions de dynamique (ch. 6) Partie 2 Milieux déformables, notions de comportement des matériaux (ch. 7) Notions de contrainte et déformation en mécanique du solide (ch. 8) 6 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel PARTIE 1 Mécanique des solides rigides 7 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Hypothèses et limites de la mécanique classique Hypothèses de base • Systèmes matériels non variables. • Un système matériel est constitué d’éléments individualisables : les points matériels. • Un ensemble de points matériels dont les distances entre points sont constantes = un solide indéformable (ou rigide). • La masse ne dépend que de la nature du matériau. Limitations (on sort du domaine de validité des modèles) • Très petits systèmes matériels. Exemple : taille < µm. • Vitesses proches de celle de la lumière. • Autres interactions physiques qui peuvent être non négligeables. 8 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Méthodologie générale en mécanique du solide rigide Dans un système, on va s’intéresser à chacun des solides : 9 Isoler chaque solide (Analyser ses mouvements) Analyser les actions mécaniques extérieures appliquées sur ce solide Analyser les relations entre actions mécaniques et (non-)mouvement Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Ch. 2 Statique des particules 10 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Introduction Notion de particule ou de point • Notion utilisée en mécanique du point • Ne s’adresse pas qu’à l’étude de particules infiniment petites, mais aussi aux cas suivants : La taille et la forme des solides considérés n’affecte pas le problème On peut considérer que les forces sont appliquées en un même point • Peut s’appliquer à de nombreuses situations réelles 11 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Forces sur une particule Définition force = action d’un corps sur un autre Elle est caractérisée par : • Un point d’application • Une direction (droite support + sens) • Une intensité (→ unité Newton N) Représentation graphique échelle 12 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Forces sur une particule Résultante de 2 forces • 2 forces agissant sur un point peuvent être remplacées par une seule force • Elle est obtenue par construction selon un parallélogramme (constat expérimental) R Q P R est la résultante de P et Q 13 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel L’outil vecteur La somme de forces n’est pas la somme des intensités ! La somme de forces suit le principe du parallélogramme. On représente une force par un vecteur Déplacements, vitesses, accélérations (et autres grandeurs physiques) sont aussi représentés par des vecteurs 14 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel L’outil vecteur Vecteur : définition Un vecteur est caractérisé par : • Une direction (droite support + sens) • Une longueur (intensité) Vecteur : propriétés • On somme des vecteurs par le principe du parallélogramme • On note un vecteur F , F (notation choisie ici) ou F (notation parfois confuse) • L’intensité donne la longueur du vecteur représenté en construction graphique, celle-ci est notée F F 15 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel L’outil vecteur Vecteur force Un vecteur force représente la force appliquée sur un point. Il est caractérisé par • Un point d’application • Un vecteur On parle de vecteur lié Autres types de vecteur • Vecteurs dits glissants (on peut les déplacer le long de leur support) • Vecteurs libres (on peut les déplacer dans tout l’espace) Autres remarques • Vecteurs égaux : ont même direction et même intensité • Opposé d’un vecteur : F est l'opposé de F. Il vérifie F F 0 16 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel L’outil vecteur Addition de vecteurs • Suivre le principe de construction par parallélogramme • Attention, rappel norme de P Q P Q (somme des vecteurs ≠ somme des intensités) • Commutation : P Q Q P • P Q P Q • Somme de plusieurs vecteurs : A B C A B C A B C Produit par un scalaire 17 • P P 2P • Généralisation : nP est de même direction et sens que P et d’intensité nP Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel L’outil vecteur Application graphique M MN NM MN MNP 18 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel N P Résultante de plusieurs forces Forces concourantes en un point A • PQ S R Q A P S La somme peut être exprimée par un seul vecteur : la résultante R des forces 19 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Composantes d’une force – vecteurs unitaires Inversement à la somme de forces, on peut décomposer une force en 2 ou plusieurs forces dont la somme a le même effet On parle des composantes d’une force En 2D, on s’intéresse le plus souvent aux couples de 2 composantes Exemples : • On connait une composante → on ob ent l’autre car la somme vaut F (en représentation graphique, fermeture du triangle) • Lignes d’ac on de 2 composantes connues → on peut projeter la force F 20 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Composantes d’une force – vecteurs unitaires Résoudre les problèmes en utilisant un repère orthonormé donné • Soit lerepère O,i, j . On utilisera toujours un repère orthonormé direct. i et j sont les vecteurs unitaires de base portés par les axes x et y. • F Fx Fy Fx i Fy j Fx et Fy sont les composantes de F dans cette base. y y F Fy Fy j j θ Fx Fx i 21 i x F tan θ = Fy Fx = F cos θ Fy = F sin θ x F = Fx² + Fy² Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel vecteurs unitaires x Résultante de forces – somme de composantes R Rx i R y j R A B C Rx = Ax + Bx + Cx Ry = Ay + By + Cy R F Rx = ∑ Fx Ry = ∑ Fy y Q A P S 22 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel x Equilibre d’une particule 1ère loi de Newton Une particule est à l’équilibre quand la résultante de toutes les forces sur la particule est nulle Alors la particule reste au repos (si initialement au repos), ou se déplace linéairement à vitesse constante (si se déplace initialement) R F 0 23 ∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Equilibre d’une particule Statique graphique Bien choisir le point à isoler… On soulève une caisse de 75 kg. Quelles sont les tensions en AC et AB ? (qui force le moins…) 24 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel En 3D Tout peut s’étendre en 3D ! F Fx i Fy j Fz k F = Fx² + Fy² + Fz² Attention, les angles sont moins simples à définir et manipuler 25 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Ch. 3 Forces sur un solide rigide 26 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Introduction Rappel : point matériel Portion de l’espace pourvue de matière et assez petite pour être considérée ponctuelle. Solide indéformable Domaine contenant un ensemble de points matériels gardant des distances fixes entre eux au cours du temps Remarques : Il s’agit d’un modèle. Tout solide est déformable ! … Cf. seconde partie du cours. 27 Modèle idéal pour l’étude des forces et mouvements Exemples : mécanismes, squelette… Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Introduction Forces internes – forces externes 2 types de forces peuvent s’appliquer à un solide rigide : • Forces externes : par les autres solides sur le solide considéré. • Forces internes : maintiennent la cohésion du solide considéré. 28 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Introduction Rappel • • Seul effet d’une action sur un point = translation (une rotation n’a pas de sens) Cette action est une force qui tend à le déplacer. Elle est caractérisée par : • Un vecteur • Un point d’application (ou point de passage) • Somme de plusieurs forces = somme vectorielle L’action est identique tout le long de la ligne d’action (analogie avec la ficelle) • Pour un solide rigide, une force est donc caractérisée par : • Un vecteur • Une ligne d’action F P P’ F 29 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel P P’ Produit vectoriel Outil indispensable pour comprendre les actions mécaniques sur un solide (qui peut être entrainé en rotation). Définition Le produit vectoriel de P et Q est défini par le vecteur V tel que La direction de V est perpendiculaire à P et Q L'intensité est donnée par : V = PQsinθ La direction est donnée par la règle de la main droite V PQ θ 30 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Produit vectoriel Propriétés Attention Q P P Q Q P1 P2 Q P1 Q P2 Q nP n Q P 31 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Produit vectoriel Composantes d’un produit vectoriel V P Q Px i Py j Q x i + Q y j ... j k V = Px Q y - Py Q x Règle du gamma Px Qx = Px Q y - Py Q x k Py Q y 32 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel i Moment d’une force par rapport à un point Effets d’une force sur un solide Δ R F2 • Entrainement en translation Lorsque la somme des actions se résume à une force, tous les points du solide ont tendance à suivre la translation définie par Δ F1 • Entrainement en rotation Pour le traduire, on utilise le vecteur moment en P. Le moment (action d’entraînement en rotation) est d’autant plus fort que : F est grand Le bras de levier PH est grand M P, F = PH.F = PA sin PA, F F 33 Unité : Newton mètre, noté N.m ou Nm Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel F A P H Moment d’une force par rapport à un point Le vecteur moment traduit l’entrainement en rotation F Dans le cas général, il se calcule par : A M P, F = PA F P H Remarques : ─ Unité : Newton mètre, noté N.m ou Nm. ─ Il ne dépend pas du point d’application, si celui-ci est sur la ligne d’action de F ─ Le moment en O ne permet pas de connaitre où est appliquée la force. ─ Deux forces sont équivalentes si F = F' et M P, F = M P, F' 34 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Système force-moment en un point Action mécanique équivalente Action qui a le même effet mécanique sur le solide F A A F P 35 P Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel MP Moment d’un système de forces par rapport à un point Moment résultant de plusieurs forces M P, F1 , F2 , ... M P, F1 M P, F2 ... F1 F1 A A1 F2 A2 P P M P,F1 ,F2 PA F1 PA F2 36 F2 M P,F1 ,F2 PA1 F1 PA2 F2 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Transport de l’action d’une force Calcul du moment en un autre point Q M Q,F QA F QP PA F PA F QP F M Q, F M P, F + QP F F Q A P Remarque : TRES utile pour le calculer en un point d’intérêt, comme un centre d’articulation… 37 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Système force-moment équivalent Bilan des actions sur un solide • Entrainement en translation Caractérisé par la somme des forces (peut être écrite en tout point du solide) • Entrainement en rotation Caractérisé par la somme des moments (peut être calculée en tout point du solide) La somme des actions mécaniques, en un point, est donnée par : • • Une résultante : R F Un moment résultant en un point P : MP MP Ce couple suffit à déterminer totalement l’action mécanique en un point d’un solide. 38 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Ch 4 Statique des solides rigides 39 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Introduction : équations d’équilibre statique Rappel Le comportement en un point O, par d’un solide soumis à n actionsest défini, une résultante R F et un moment résultant MP MP F A A3 F3 P F A2 O F2 Un solide est en équilibre statique si F 0 et M0 0 M 0 En 2D ∑ Fx = 0 ; ∑ Fy = 0 ∑ M(O) = 0 Un système de plusieurs solides est en équilibre statique si chacune de ses parties est en équilibre 40 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Bilan des efforts extérieurs au solide Isoler le solide S1 S S2 S Lister les efforts extérieurs (forces, moments) connus et inconnus • Actions mécaniques à distance écrire force/moment Exemple : gravité • Actions mécaniques de contact écrire force/moment Reste plus qu’à écrire la condition d’équilibre ! 41 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Efforts dans les liaisons extérieurs Principe des actions mutuelles (réciprocité) S2 S1 F1/2 -F2/1 et M1/2 P M2/1 P 42 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Efforts dans les liaisons extérieurs Force seule, ligne d’action connue : appui simple • • • • Appui ponctuel Surface plane sans frottement Roulement parfait Câble Force seule, ligne d’action inconnue : pivot ou articulation • Articulation • Surface rugueuse Force + moment : encastrement • Encastrement • Liaison fixe 43 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Efforts dans les liaisons extérieurs 44 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Equilibre 2D d’un solide Principe fondamental de la statique en 2D • ∑ Fx = 0 ; ∑ Fy = 0 et ∑ M(O) = 0 • Donc 3 équations à disposition On peut ne déterminer, au plus, que 3 inconnues Exemple : 45 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Remarque sur l’indétermination d’un système de forces Isostatisme Si le solide/système ne peut bouger sous aucune charge (totalement contraint) + Si les réactions n’ont que 3 inconnues et peuvent être déterminées par le PFS ALORS Le système est isostatique Hyperstatisme Il y a trop d’inconnues (problème indéterminé) Il faudrait utiliser la mécanique des milieux déformables pour équations suppl. Hypostatisme On peut résoudre le problème et trouver les inconnues MAIS une charge additionnelle peut faire bouger le solide/système (il est partiellement contraint) 46 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Remarque sur l’indétermination d’un système de forces Exemples 47 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Cas particulier : solide soumis à 2 forces F1 A F2 B Ecrire les équations d’équilibre en A… Solide soumis à 2 forces ⇒ Forces colinéaires, de sens opposées, de même norme 48 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Cas particulier : solide soumis à 2 forces Statique graphique Exemple des structures en treillis 49 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Cas particulier : solide soumis à 3 forces F1 A I B C F3 F2 Ecrire les conditions d’équilibre du solide au point I intersection des directions de F1 et F2… Solide soumis à 3 forces ⇒ Forces concourantes, de somme vectorielle nulle 50 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Cas particulier : solide soumis à 3 forces Statique graphique 51 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Cas générale d’équilibre en 3D Pour un système S, les conditions d’équilibre vont se traduire par : • Deux équations vectorielles F 0 et M0 0 • En 3D 6 équations pour déterminer les paramètres inconnus ∑ F x = 0 ; ∑ Fy = 0 ; ∑ Fz = 0 ∑ Mx(O) = 0 ; ∑ My(O) = 0 ; ∑ Mz(O) = 0 • En 2D, Il n’y en a plus que trois. ∑ F x = 0 ; ∑ Fy = 0 ∑ M(O) = 0 Rappel : on ne peut résoudre le problème que si l’on a autant d’équations que d’inconnues 52 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Exemple de résolution graphique • Effort nécessaire pour couper le boulon 1500 daN • Liaisons parfaites Déterminer l’effort de compression sur la vis 53 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel F3 1 F2 1 54 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel 55 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel F3 1 F1 3 56 F1 3 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel F2 3 F5 3 57 F1 3 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel F1 2 58 F4 2 F3 2 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel F6 4 59 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel F2 4 F7 4 F4 6 F6 vis 60 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Ch 5 Cinématique 61 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Introduction Rappels ─ Point matériel : portion de l’espace pourvue de matière, assez petite pour être considérée comme ponctuelle ─ Solide rigide ou indéformable : domaine D de l’espace contenant un ensemble de points matériels gardant des distances constantes entre eux. On peut donc installer un repère sur D ─ Temps : t supposé s’écouler de manière identique pour tous les solides Cinématique = étude des mouvements indépendamment de leur causes Préalable à l’étude des liens entre forces et mouvements !! Notion relative !! On étudie le mouvement par rapport à un référentiel (ou repère, ou observateur) 62 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Cinématique du point - Repérage On utilise des repères orthonormés directs (r.o.n.d = 1 point + 1 base o.n.d) Repérage d’un point P donné dans le repère R O,i, j,k OP xi yj zk O y R On peut obtenir les coordonnées par projection : x OP.i y OP.j z OP.k On peut noter : OP x, y, z 63 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel P x z Cinématique du point - Vitesse Définition (t) Soit P mobile / repère R. Sa vitesse est définie par : PP' ΔP d V P/R = lim = lim = OP Δt0 Δt Δt0 Δt dt Remarque Définition indépendante de O pourvu qu’il soit fixe dans R. Expression : OP = xx + yy + zz d V P/R = OP dt dx dy dz = x+ y+ k dt dt dt • • • V P/R = xx + y y + zz 64 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel O R P P’ (t+Δt) Cinématique du point - accélération Définition P Soit P mobile / repère R. Son accélération est définie par : V P' - V P d A P/R = lim = V P Δt 0 Δt dt Expression •• •• •• A P/R = x x + y y + z z 65 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel P’ O V P V P' Cinématique du solide x Repérage d’un solide y Besoin de 6 paramètres ─ Position de OS : ─ Orientation / R : OS O z OOS = xi + yj + zk 3 paramètres d’Euler ou 3 autres angles Difficultés… Il faut tenir compte des rotations, ce qui complique fortement les calculs… 66 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Cinématique du solide Champ de vitesse d’un solide R A1 B1 A2 B2 = Δt A1 B1 A2 B’ B’ + A2 Δθ A2 B2 B'B2 = Δθ AB Observons le déplacement du point B : B1B2 B1B' B'B2 ... ΔB ΔA BA Δθ V B V A BA ω Champ d’accélération… à calculer pour les plus courageux… 67 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Ch 6 Notions de dynamique 68 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Dynamique du point Dynamique : Etude des relations entre les mouvements et leurs causes. Enoncé du Principe Fondamental de la Dynamique (2nde loi de Newton) (Valable dans un repère absolu ou galiléen, supposé exister) Soit un point P de masse m. Le principe fondamental de la dynamique (PFD) permet d’écrire : F mA P F : Résultante des efforts sur P Cas particulier de la (quasi-)statique (1ère loi de Newton) F 0 69 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Principe de la dynamique du solide Actions extérieures Actions à distance Actions de contact, (intérieures) et extérieures PFD appliqué à un solide de masse m Une des écritures possibles : F mA G MG GP A Pdm S Dynamique d’un système de solides Idem pour chaque solide + inclure les actions des liaisons C’est complexe ! 70 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel PARTIE 2 Mécanique du solide déformable 71 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Ch 7 Introduction à la mécanique des milieux déformables 72 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Limite de la mécanique du solide rigide • La statique ne renseigne pas sur les efforts intérieurs • Comment se déforme le solide ? • Même à résultante d’efforts nulle, le solide peut se déformer • Casse d’un solide est un problème d’efforts intérieurs 73 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Loi de comportement des matériaux Définition • Soit un effort, noté, F sur solide donné • Soit le changement de forme = déformation, noté D • La loi de comportement du matériau permet de décrire l’un en fonction de l’autre : D = f(F) état déformé F4 F1 F2 74 état initial F3 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Loi de comportement des matériaux Solide ou fluide ? Solides ─ ─ ─ ─ Certaine mémoire de la géométrie initiale, retour élastique Résistance au cisaillement Force constante Déformation constante Sur des temps COURTS, pas/peu de réarrangements de molécules Fluides ─ ─ ─ ─ Réarrangements irréversibles, pas de retour élastique Prend la forme du récipient Force constante Déformation croissante et vitesse de déformation constante Sur des temps LONGS, réarrangements de molécules En pratique tout matériau est solide et fluide ! Tout est question d’échelle de temps « caractéristique » : Glace : solide < 1 h ; fluide > 24 h Verre : solide < 1 an ; fluide > 100 ans Pâte à modeler : solide < 1 s ; fluide > 10 s 75 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Essais mécaniques unidirectionnels Essais de traction simple L0 S0 F F L F F rupture ΔL 76 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel L - L0 Essais mécaniques unidirectionnels Essais de traction simple… et comparaisons avec un même matériau L0 F 2S0 2Fmax L0 2L0 S0 S0 Fmax ΔLel 77 2ΔLel Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel L - L0 Essais mécaniques unidirectionnels Essais de traction simple… Notion de contrainte On pose σ = F / S = contrainte Unité : N /m² = Pa (pascal) F / S0 σmax ΔLel 78 2ΔLel Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel L - L0 Essais mécaniques unidirectionnels Essais de traction simple… Notion de déformation On pose ε = (L - L0) / L0 = déformation Sans unité, parfois exprimée en % σ σmax εel 79 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel ε Notions de comportement des matériaux Elasticité, plasticité… σ σrup σel Zone élastique Déformations réversibles Zone plastique Déformations irréversibles εel εrup ε Module d’élasticité ou module de Young • En zone élastique, le modèle le plus courant d’élasticité linéaire est le modèle de Young : σ=Eε 80 E est le module de Young (Pa, ou souvent Mpa) Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Notions de comportement des matériaux Comportement ductile/fragile Matériau ductile εrup >> εel σ εel εrup Matériau fragiles εrup proche de εel σ ε εel εrup • Exemples ? Viscosité, non linéarité… 81 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel ε Notions de comportement des matériaux Non linéarité… • Elasticité non linéaire σ σ typique des tissus mous biologiques ε polymères Viscosité… • La réponse mécanique (force, contrainte) dépend de la vitesse de déformation (donc du temps). • Exemples … 82 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel ε Notions de comportement des matériaux Déformation transverse - Coefficient de Poisson L0 S0 d S d0 L−L ε1 = L 0 0 Déformation longitudinale d−d ε2 = d 0 = ε3 0 Déformation transverse L On constate expérimentalement ε2, ε3 ε2 = -υ ε1 -υ 83 ε1 υ est le coefficient de Poisson du matériau (sans unité) 0 < υ < 0,5 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Notions de comportement des matériaux Loi de comportement d’un matériau « simple » • Matériau élastique • Linéaire • Isotrope La loi de comportement est entièrement définie par E et υ. Cas plus généraux • Anisotrope : plusieurs paramètres pour caractériser les différentes directions • Non linéaire : autres paramètres pour caractériser la non linéarité • Plasticité, viscosité… 84 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Ch 8 Notion de contrainte et déformation 85 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Contrainte Effort intérieur sur une surface On suppose la répartition de l’effort homogène sur la surface ─ On isole la partie (1) calcul de F2/1 F (2) F S Section S (1) (1) F 86 F Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Contrainte Vecteur contrainte – contraintes normale et tangentielle On définit le vecteur contrainte comme : F T S T σ τ t n On peut le décomposer : F F T N n T t S S (1) F T σn τ t Contrainte normale 87 Contrainte tangentielle (cisaillement) Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Contrainte La contrainte est en fait une grandeur locale dF T M dS M dS dF Attention, T dépend de l’orientation de la surface dF T M, n dS M dS n dF Il existe un formalisme mathématique pour écrire la contrainte locale 3D (basé sur les matrices et opérations associées) 88 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Déformation Déformation longitudinale = déformation en 1D x x=0 x = l0 ε= x + u(x) x=0 89 Δl x=l Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel Δl l0 Déformation La déformation longitudinale peut être non homogène Besoin d’une définition locale en x Elle est liée aux déplacements relatifs des particules du matériau Isolons un petite portion autour de x : x x + dx ε(x) = x + u(x) Δl u(x+dx) − u(x) = l0 dx x + dx + u(x+dx) ε(x) = 90 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel du dx Déformation Généralisation, formalisme similaire à la contrainte • Allongements et variations d’angle (cisaillement) 91 Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel