TD Révisions : Probabilités discrètes
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Mathématiques L3 MIAGE TD Révisions : Probabilités discrètes Dénombrement : Directement A. Nom pour l’événement / ensemble, explication du bon raisonnement, bonne formule détaillée, bon résultat. B. Explication du bon raisonnement, bonne formule détaillée. Objectifs de la première partie du cours C. Bon raisonnement, pas de formule et bon résultat ou erreur dans le raisonnement, mais cohérence avec la formule et du résultat. D. Pas de raisonnement, bonne formule et bon résultat. • Tracer des histogrammes de valeurs / fréquences / densités, comprendre ce que chacun représente. E. Plusieurs erreurs ou uniquement résultat. • Connaître le vocabulaire habituel des probabilités discrètes (expérience aléatoire, univers, événements, ...). Calcul d’une probabilité : Par cas favorables / possibles • Faire la différence entre permutations / arrangements / combinaisons. A. Nom pour l’événement, justification et calcul des cas favorables et possibles, résultat du quotient des deux. • Dénombrer des ensembles classiques liés aux tirages en utilisant les propriétés de cardinal des ensembles (complémentaire, produit, union, ...). B. Justification et calcul des cas favorables et possibles, calcul du quotient des deux. • Calculer une probabilité discrète grâces aux définitions (cas favorables / possibles) et propriétés (contraire, union, ...). • Comprendre la notion d’indépendance d’événements. • Utiliser les probabilités conditionnelles, probabilités totales, le théorème de Bayes. • Comprendre le concept de variable aléatoire discrète, et de loi de probabilités, et savoir utiliser leurs propriétés. • Utiliser et comprendre ce que représentent les notions d’espérance mathématique, variance, et écart type. • Utiliser le théorème de transfert, la linéarité de l’espérance et le théorème de König pour effectuer des calculs. • Reconnaître les différentes lois classiques (uniforme, Bernouilli, binomiale, géométrique, Poisson), savoir ce qu’elles représentent et utiliser leurs propriétés (probabilités, espérance, variance). C. Calcul des cas favorables et possibles, calcul du quotient des deux. D. Calcul d’un quotient avec début d’explications, ou calcul des cas favorables et possibles sans suite. E. Calcul d’une probabilité : Par théorème A. Rappel du théorème (littéral), vérification des conditions, calcul correct des valeurs nécessaires et bon résultat. B. Rappel du théorème (littéral), vérification des conditions, calcul des valeurs nécessaires. C. Utilisation du théorème (numérique), vérification des conditions, calcul des valeurs nécessaires. D. Identification du théorème à utiliser, et calcul de certaines valeurs. E. - • Approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson (paramètre et conditions). Reconnaître une loi : Valeurs • Savoir justifier les concepts de probabilités. A. Bonne loi, bon(s) paramètre(s) et bonne notation. Exemple de grille d’évaluation A. Excellent (rien à modifier) : 100% - B. Bien : 75 - 90% - C. Satisfaisant : 50 - 70% - D. Passable : 25 - 45% - E. Insatisfaisant : 0 - 20%. B. Bonne loi, bon(s) paramètre(s). C. Mauvaise loi mais paramètre(s) cohérent(s). D. Bonne loi et mauvais paramètre(s). E. Mauvaise loi, et incohérence sur les paramètres. 9. P(B) = 0, 1, P(A | B) = 0, 5. P(A ∩ B) ? Reconnaître une loi : Justification 10. P(A) = 0, 05, P(B) = 0, 1, P(A ∩ B) = 0, 5. A et B indépendants ? A. Explication du choix de la loi, de ce que signifie le(s) paramètre(s) de la loi afin de trouver la valeur. 11. P(B) = 0, 1, P(A | B) = 0, 5, P(A | B) = 0, 2. P(A) ? B. Explication du choix de la loi, et paramètre(s) avec explication incomplète. 12. P(A) = 0, 2, P(B) = 0, 5 et P(A ∩ B) = 0, 1. P(A ∪ B) ? C. Explication des paramètres sans explication complète de la loi, ou uniquement explication du choix de la loi. D. Début de justification. E. Pas de justification ou incohérente. Variable aléatoire x −1 0 2 3 P(X = x) 0, 3 2p p − 0, 1 0, 2 Espérance, Variance, Écart-type : Calcul 13. Valeur de p ? 17. Espérance de X ? A. Notation, rappel de la formule littérale, application de la formule, et bon résultat. 14. Fonction de répartition de X ? 18. Variance de X ? B. Notation, rappel de la formule littérale, application de la formule. 15. P(X ≤ 2) ? 19. Ecart-type de X ? C. Notation, application de la formule, et (rappel de la formule ou bon résultat). 16. P(X > 2) ? 20. Espérance de Y = |X − 1| ? D. Application de la formule ou rappel de la formule littérale. E. Ni application ni rappel. Lois classiques 21. P(A) = 0, 02. Soit X la v.a. qui vaut 1 si A se réalise, 0 sinon. Loi de X ? Exercices directs de révision 22. P(X = 0) ? 24. Espérance de X ? Il s’agit ici de trouver la réponse et le(s) argument(s) qui permet de justifier la réponse. 23. P(X < 1) ? 25. Variance de X ? Dénombrement 27. P(Y = 4) ? 29. Espérance de Y ? Course avec 10 participants. 28. P(Y ≤ 1) ? 30. Variance de Y ? 1. Nombre de vainqueur possible ? 2. Nombre d’ordres d’arrivée possibles ? 26. Soit Y la v.a. du nombre de fois où A a lieu en 100 répétitions indépendantes. Loi de Y ? 31. Approximation par une loi de Poisson ? 3. Nombre de podiums possibles sans égalité ? 32. Approximation de P(Y = 4) ? 4. Nombre de choix possibles pour les médaillés ? 33. Soit Z la v.a. du nombre de répétitions indépendantes avant que A ait lieu. Loi de Z ? Une urne contient 4 boules rouges, 3 blanches et 2 noires. 34. P(Z = 4) ? 36. Espérance de Z ? 5. Nombre de façons de tirer 3 boules sans remise avec au moins une rouge ? 35. P(Z > 2) ? 37. Variance de Z ? 6. Exactement une rouge ? Avec remise, au moins une ? Exactement une ? 38. En moyenne, un patient se présente aux urgences toutes les 12 minutes. Soit X la v.a. du nombre de patient qui arrive en 1h. On suppose qu’elle suit une loi de Poisson. Paramètre ? Probabilités discrètes 7. P(A) = 0, 3. P(A) ? 8. P(A) = 0, 05, P(B) = 0, 1, P(A | B) = 0, 5. P(B | A) ? 39. Probabilité de 3 patients en 1h ? 41. Variance de X ? 40. Espérance de X ? 42. Probabilité de 4 patients en 30min ?
