. 1. Définitions et vocabulaire Définition : a est un nombre relatif non

CHAPITRE 15 – PUISSANCES D’UN NOMBRE RELATIF.
I. NOTATION a n .
1. Définitions et vocabulaire
Définition :
a est un nombre relatif non nul.
●
a0 = 1
●
a1 = a
●
Si
n  2 alors a n = a  a  …  a
produit de n facteurs égaux à a
Exemples

 3 0
 -  = …………… ;
 a
( - 3,14 ) = …………… ;

 3 1
 -  = …………… ;
 a

( - 3,14 ) 1 = …………… ;

( - 3 ) 4 = …………… ;

23
= ……………
car 2
3

7 0 = …………… ;

7 1 = …………… ;

0
= …………………………
4
car ( - 3) = ………………………………………… ;

( - 1 ) 2017 = …………… .
Vocabulaire
a n est la puissance de a d’exposant n , et on lit « a puissance n ».
Cas particuliers :
L. GUADALUPI

a 2 est le carré de a ;

a 3 est le cube de a.
Chapitre 15 – Synthèse
MTH4015 – Page S.1
Définition – Notation :
a est un nombre relatif non nul.
L’inverse de a se note
1
a
ou a - 1 :
1
a-1 =
a
Exemples
-1

2
= ……………

(- 5 ) - 1

 4 -1
 
= …………… ;
3

 3 -1
- 
 7
= ……………
= ……………
= …………… ;
= …………… .
Définition – Notation :
a est un nombre relatif non nul, et n est un entier naturel.
L’inverse de a n se note a - n :
a
- n
=
1
an
Exemples

4 - 2 = ……………

(- 5 ) - 3 =
……………
= ……………
= …………… .
L. GUADALUPI
Chapitre 15 – Synthèse
MTH4015 – Page S.2
2. Des pièges à éviter
Conventions :
La puissance s’adresse au nombre ou la paire de parenthèses placés juste devant.
La puissance est prioritaire par rapport aux additions, soustractions, multiplications
et divisions.
( - 3 )2
Ne pas confondre

(- 3)2
et - 3 2 :
= ……………

=
= ……………;
Ne pas confondre

( 3  7 )4
( 3  7 )4=
- 32 =

……………

( 5 + 3 )2
( 5 + 3 )2
3  7 4 = ……………
= …………… .
et 5 + 3 2 :
= ……………

= …………… ;
L. GUADALUPI
…………… .
et 3  7 4 :
= ……………;
Ne pas confondre
……………
Chapitre 15 – Synthèse
5 + 32
= ……………
= …………… .
MTH4015 – Page S.3
II. Règles de calcul
Pour tout nombre relatif a, et pour tous les nombres entiers m et n, positifs, négatifs ou nuls,
on a :
Règle n° 1 :
am  an = am+n
Exemples
10 3  10 2 = ……………


(−2 )
4
 ( − 2 ) 7 = ……………
= …………… ;
= ……………
= …………… .
Règle n° 2 :
am
= am–n
n
a
Exemples
2 10

28
= ……………

10 - 4
10 2
= …………… ;
33

37
= …………… ;
= ……………
= …………… ;

= …………… ;
10 - 3
10 - 5
= ……………
= …………… .
= …………… .
Démonstration :
am
an
L. GUADALUPI
= am 
1
an
1
= a-n
n
a
= am  a-n
car
= am–n
d’après la règle n° 1.
Chapitre 15 – Synthèse
MTH4015 – Page S.4
Règle n° 3 :
( am )
n
= amn
Exemples

(22 )3
= ……………

( 5-2 )-3
= …………… ;
= …………… ;

( 10 - 3 ) 2
= ……………
= …………… ;
= …………… ;
Règle n° 4 :
a n  b n = (a  b)
n
Exemples

5 3  2 3 = ……………

3-2 × 4-2 =
= …………… ;
=
……………
…………… .
Règle n° 5 :
a n  a  n
=
bn  b 
Exemples

83
16 3
= ……………

= ……………
= ……………
= …………… ;
= ……………
= …………… ;
L. GUADALUPI
  2
 
2
Chapitre 15 – Synthèse
MTH4015 – Page S.5