ex.2 - Math France

Nouvelle Calédonie. Novembre 2014. Enseignement spécifique
EXERCICE 2 (5 points) (commun à tous les candidats)
Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes.
Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si chacune d’elles est vraie ou fausse, en justifiant la
réponse.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Une absence de réponse n’est pas pénalisée.
−
−
Dans les question 1) et 2), le plan est rapporté au repère orthonormé direct O, →
u,→
v . On désigne par R l’ensemble
des nombres réels.
1) Affirmation 1.
Le point d’affixe (−1 + i)10 est situé sur l’axe imaginaire.
2) Affirmation 2.
Dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation
z − z + 2 − 4i
admet une solution unique.
3) Affirmation 3.
√ ln e9 eln 2+ln 3
ln
.
=
e7 +
ln (e2 )
eln 3−ln 4
4) Affirmation 4.
Z ln 3
ex
3
.
dx = − ln
x+2
e
5
0
5) Affirmation 5.
L’équation ln(x − 1) − ln(x + 2) = ln 4 admet une solution unique dans R.
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c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.
Nouvelle Calédonie. Novembre 2014. Enseignement spécifique
EXERCICE 2 : corrigé
Affirmation 1
VRAI
Affirmation 2
FAUX
Affirmation 3
VRAI
Affirmation 4
VRAI
Affirmation 5
FAUX
Justification 1.
p
√
(−1)2 + 12 = 2 puis
√ 3iπ
√
√
3π
1
1
3π
+ i sin
= 2e 4 .
−1 + i = 2 − √ + √ i = 2 cos
4
4
2
2
1ère solution. |−1 + i| =
Par suite,
(−1 + i)10 =
√ 10 3iπ 10 √ 2 5
3iπ×10
15iπ
2
2
× e 4
× e 4 = 25 e 2
=
16iπ
= 32e 2
= −32i.
−i π
2
π
π
= 32e8iπ−i 2 = 32e−i 2
En particulier, le point d’affixe (−1 + i)10 est situé sur l’axe imaginaire. L’affirmation 1 est vraie.
2ème solution. (−1 + i)2 = (−1)2 − 2i + i2 = 1 − 2i − 1 = −2i puis
(−1 + i)10 = (−1 + i)2
5
= (−2i)5 = (−2)5 i5 = −32 × i2 × i2 × i = −32i.
2) Justification 2. Soit z un nombre complexe. Posons z = x + iy où x et y sont deux réels.
z − z + 2 − 4i = (x + iy) − (x − iy) + 2 − 4i = 2iy + 2 − 4i = 2 + i(2y − 4).
En particulier, la partie réelle de z − z + 2 − 4i est égale à 2. Cette partie réelle n’est pas nulle. Mais alors, z − z + 2 − 4i
n’est jamais nul ou encore l’équation z − z + 2 − 4i = 0 n’a pas de solution dans C. L’affirmation 2 est fausse.
3) Justification 3.
√ ln e9 9
1
7 9
= ln e7 + = + = 8
ln
e7 +
ln (e2 )
2
2
2 2
et
6
eln 2+ln 3
eln 6
24
= ln(3/4) =
=
= 8.
ln
3−ln
4
e
3/4
3
e
Donc l’affirmation 3 est vraie.
4) Justification 4.
Z ln 3
0
Z ln 3
′
(ex + 2)
ln 3
dx = [ln (ex + 2)]0 = ln eln 3 + 2 − ln e0 + 2
x
e +2
0
3
5
= − ln
.
= ln(3 + 2) − ln(1 + 2) = ln(5) − ln(3) = ln
3
5
ex
dx =
x
e +2
Donc l’affirmation 4 est vraie.
5) Justification 5.
Soit x un réel.
ln(x − 1) − ln(x + 2) = ln 4 ⇔ ln(x − 1) = ln 4 + ln(x + 2) ⇔ ln(x − 1) = ln(4(x + 2))
⇔ x − 1 = 4(x + 2) et x − 1 > 0
⇔ −3x = 9 et x > 1 ⇔ x = −3 et x > 1.
Puisque −3 6 1, l’équation proposée n’a pas de solution. Donc l’affirmation 5 est fausse.
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