Exercice 1 [Bac Liban 2016] : Solution page 1 Un automate peut se

Exercice 1 [Bac Liban 2016] :
Solution page 1
Un automate peut se trouver dans deux états A ou B. À chaque seconde il peut soit rester dans l’état où il se trouve, soit en changer, avec des probabilités données par le graphe
probabiliste ci-dessous.
Pour tout entier naturel n, on note an la probabilité que l’automate se trouve dans l’état A
après n secondes et bn la probabilité que l’automate se trouve dans l’état B après n secondes.
Au départ, l’automate est dans l’état B.
0, 7
0, 3
A
B
0, 2
0, 8
On considère l’algorithme suivant :
Variables :
Initialisation :
Traitement :
Sortie :
a et b sont des réels
a prend la valeur 0
b prend la valeur 1
Pour k allant de 1 à 10
a prend la valeur 0, 8a + 0, 3b
b prend la valeur 1 − a
Fin Pour
Afficher a
Afficher b
Répondre par Vrai ou Faux aux deux affirmations ci-dessous :
Affirmation 1 : En sortie, cet algorithme affiche les valeurs de a10 et b10 .
Affirmation 2 : Après 4 secondes, l’automate a autant de chances d’être dans l’état A que
d’être dans l’état B.
Solution exercice 1 :
Affirmation 1 :
L’algorithme initialise bien les variables à partir des données du problème. En effet, au départ, P(B) = 1 soit b0 = 1.
En revanche, l’affectation de a dans la boucle pose problème. En effet, la lecture du graphe
permet d’affirmer que an+1 = 0, 3an + 0, 8bn et ce qui est proposé correspond plutôt à an+1 =
0, 8an + 0, 3bn .
L’affirmation est donc fausse.
Affirmation 2 : En remplaçant la ligne « a prend la valeur 0, 8a + 0, 3b » par « a prend la
valeur 0, 3a + 0, 8b », l’algorithme renvoie a = 0, 5 et b = 0, 5. L’affirmation est donc vraie.
Nous verrons plus tard une autre solution plus rapide.
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