Introduction `a la théorie des nombres Série 10

EPFL - Section de Mathématiques
Introduction
à la théorie des nombres
Semestre Printemps 2009
Prof. Eva Bayer-Fluckiger
30.04.2009
Série 10
Exercice 1
Anneau d’entiers factoriel ⇒ principal
On peut montrer que tout anneau principal est factoriel. En général, la réciproque est fausse...
mais elle est vraie pour tout anneau d’entiers, c’est ce que nous allons montrer dans cet
exercice.
Soit K un corps de nombres, on note OK son anneau d’entiers.
1. Montrer les deux assertions suivantes, vraies pour tout corps de nombres :
(a) Si tout idéal premier de OK est principal, alors l’anneau OK est principal.
(b) Dans l’anneau OK , tout idéal premier est maximal.
2. On suppose maintenant que l’anneau OK est factoriel.
(a) Montrer que pour tout élément irréductible π ∈ OK , l’idéal πOK est premier.
Indication : soit ab ∈ πOK tel que b 6∈ πOK . Soit c ∈ OK tel que ab = πc. En écrivant
la décomposition en produits d’irréductibles pour a, b et c, montrer que a ∈ πOK .
(b) Soit p 6= 0 un idéal premier de OK . Soit x ∈ p, x 6= 0, tel que |NK/Q (x)| est minimal.
Montrer que x est irréductible.
(c) Déduire des questions précédentes que l’anneau OK est principal.
Exercice 2
Soit K un corps de nombres. On note OK son anneau des entiers. Si I ⊂ OK est un idéal, on
note N (I) = card(OK /I) sa norme.
1. Soient a ⊂ b deux idéaux non triviaux de OK tels que a 6= b. Montrer : N (a) > N (b)
(inégalité stricte).
Indication : on pourra considérer l’application :
f :
OK /a
−→
OK /b
x mod a 7→ x mod b.
en montrant qu’elle est bien définie, surjective et non injective.
2. Soit I un idéal non nul de OK . Montrer que I est principal si et seulement s’il existe
a ∈ I tel que |NK/Q (a)| = N (I).
Exercice 3
Le but de cet exercice est d’étudier un exemple de
√ corps quadratique dont l’anneau des entiers
est non euclidien, précisément le corps K = Q( −19).
Puisque −19 ≡ 1(mod 4), rappelons que l’anneau des entiers de K est donné par :
√
1 + −19
.
OK = Z[α], avec α =
2
On note N = NK/Q l’application norme de l’extension K/Q.
1. Montrer que α est racine du polynôme P (X) = X 2 − X + 5. En déduire :
N (a + bα) = a2 + ab + 5b2 ,
pour tous a, b ∈ Z.
2. Soit UK le groupe des unités de l’anneau OK . Montrer que tout z ∈ UK satisfait la
condition N (z) = 1 ; en déduire l’égalité UK = {−1; 1}.
Indication : on pourra utiliser la minoration a2 + ab + b2 ≥ (|b| − |a|)2 ≥ 0.
3. On suppose par l’absurde que l’anneau OK est euclidien, en particulier qu’il est muni
d’une application stathme ϕ : OK \{0} → N telle que pour tous y, z ∈ OK il existe
q, r ∈ OK avec z = qy + r et (r = 0 ou ϕ(r) < ϕ(y)).
Soit x ∈ OK \UK un élément non nul tel que ϕ(x) soit minimal.
(a) Modulo l’idéal (x) = xOK , montrer que tout élément z ∈ OK est congru soit à 0 soit
à une unité de OK .
(b) En déduire que l’anneau quotient OK /(x) est un corps de cardinal 2 ou 3.
(c) Par un calcul direct, montrer : |N (x)| ≥ 4.
(d) Déduire des questions précédentes une contradiction. Conclure.
Remarque : dans une série ultérieure, nous montrerons que l’anneau OK est en revanche factoriel (donc principal d’après l’exercice 1). On n’a donc pas l’implication factoriel ⇒ euclidien
pour les corps de nombres.