Introduction `a la théorie des nombres Série 7

EPFL
Section de Mathématiques
Introduction à la théorie des nombres
Prof. Eva Bayer-Fluckiger
Semestre de Printemps, 2009 - 2010
Semaine du 12.04.2010
Série 7
Exercice 1. Soit K = Q(θ) avec θ3 − 10 = 0. On note OK l’anneau des entiers de K.
1. Montrer que l’élément α = (1 + θ + θ2 )/3 est entier sur Z.
2. A-t-on OK = Z[θ] ?
Exercice 2.
√
2+ 6
1. Expliquer pourquoi
est entier sur Z, puis donner son polynôme minimal.
2
√
√
2. Donner
l’anneau des entiers de Q( 2) et celui √
de Q(√ 6), puis montrer que l’anneau
√
√
Z[ 2 + 6] n’est pas l’anneau des entiers de Q( 2 + 6).
√
√
3. Donner
√ √l’anneau des entiers de Q( 3) et celui√de√Q( 7), puis montrer que l’anneau
Z( 3, 7) n’est pas l’anneau des entiers de Q( 3, 7).
√
√
On pourra considérer l’élément
√
3+ 7
.
2
Anneaux factoriels.
Dans un anneau intègre A, un élément x est dit irréductible s’il n’est pas inversible et si
ses seuls diviseurs sont les éléments inversibles ou les éléments xu avec u inversible. Par
exemple, dans Z, les éléments irréductibles sont les nombres premiers.
Deux éléments a et b de A sont dits associés s’il existe une unité u telle que a = ub.
Enfin, un anneau factoriel A est un anneau intègre vérifiant les conditions :
1. tout élément x ∈ A admet une factorisation de la forme x = up1 ...pn où u est un élément
inversible de A et où les pj sont des éléments irréductibles de A ;
2. si x admet une autre factorisation, disons x = vq1 ...qm , alors n = m et il existe une
permutation σ de {1, ..., n} telle que chaque pi est associé à un unique qσ(i) .
Exercice 3. Montrer que dans un anneau factoriel, un élément a est irréductible si et
seulement s’il est non nul, non inversible et vérifie la propriété :
a|bc
⇒
a|b
ou
a|c.
Exercice 4.
1. On rappelle que tout anneau principal est factoriel. En déduire des exemples d’anneaux
factoriels, étudiés en cours ou en séries d’exercices.
√
√
2. On considère l’anneau A = Z[ −5] = Z[i 5].
√
√
(a) Montrer que les éléments 2, 3, 1 + i 5 et 1 − i 5 sont irréductibles dans A.
(b) En déduire que l’anneau A n’est pas factoriel.
3. Plus généralement, montrer que si d >√1 est un entier sans√facteur carré tel que −d ≡
3 (mod 4), l’anneau des entiers de Q[ −d], c’est-à-dire Z[ −d], n’est pas un anneau
factoriel.
On pourra
√ chercher deux décompositions de 1 + d, puis montrer que 2 est irréductible
dans Z[i d].