Séquence 13 : Probabilités

Séquence 13 : Probabilités
On réalise les 3 expériences suivantes :
Expérience n°1 :
La pièce de monnaie
Expérience n°2 :
Le dé à 6 faces
Expérience n°3 :
La roue de loterie
On lance une pièce de monnaie
On lance un dé à 6 faces
On fait tourner une roue de
équilibrée et on regarde sa face
équilibré et on regarde le
loterie équilibrée, on regarde la
supérieure.
nombre de points inscrits sur sa
couleur désignée par la flèche.
face supérieure.
I.
Vocabulaire
Définition :
-
une expérience est dite aléatoire si :
Elle conduit à des résultats possibles que
l’on peut nommer.
La pièce de monnaie :
-
On ne sait pas lequel de ces résultats va se
produire quand on réalise l’expérience.
Le dé à 6 faces :
La roue de loterie :
…………………………………. …………………………………. …………………………………
Remarque : une expérience élémentaire est entièrement due au hasard.
Définition :
Chacun des résultats possibles d’une expérience est une issue de l’expérience.
La pièce de monnaie :
Le dé à 6 faces :
La roue de loterie :
Cette expérience admet
Cette expérience admet
Cette expérience admet
……………………………….
………………………………..
……………………………….
……………………………….
………………………………..
……………………………….
……………………………….
………………………………..
……………………………….
Définition :
Un événement est une condition qui peut être, ou ne pas être, réalisée lors d’une expérience.
Un évènement peut être réalisé par plusieurs …............................ de cette expérience.
Un évènement réalisé par une seule issue s’appelle un événement élémentaire.
La pièce de monnaie :
Le dé à 6 faces :
La roue de loterie :
……………………………….
………………………………..
……………………………….
……………………………….
est un évènement réalisé par les
……………………………….
est un évènement élémentaire.
issues :…………………………
est un évènement élémentaire.
………………………………..
est un évènement élémentaire.
II.
Notion de probabilité
a. Définition
Définition :
Lorsque l’on effectue un très grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence de
n’importe quel évènement de cette expérience finit par se stabiliser autour d’un nombre qui est
………………………………………………………………………………………………………..
La pièce de monnaie :
Le dé à 6 faces :
La roue de loterie :
Si on lançait la pièce un très
Si on lançait le dé un très grand
Si on faisait tourner la roue de
grand nombre de fois, on
nombre de fois, on obtiendrait 4
loterie un très grand nombre de
obtiendrait pile environ
environ …..............................
fois, on obtiendrait vert environ
………………………………… ……………………………..
………………………………..
Notation : Si A est un évènement, on note p(A) la probabilité que l’évènement A se réalise.
b. Propriétés
-
Une probabilité est un nombre compris entre …………………………………………………….
-
Un évènement dont la probabilité est nulle est un évènement ……………………………………
-
Un évènement dont la probabilité est égale à 1 est un évènement ………………………………..
-
La somme des probabilités de tous les évènements élémentaires est égale à …………………….
c. Equiprobabilité
Définition :
Lorsque tous les évènements élémentaires ont la même probabilité d’être réalisés, on dit qu’il s’agit
d’une situation d'équiprobabilité.
Réciproquement, dans une situation d’équiprobabilité, tous les évènements élémentaires ont la même
probabilité.
La pièce de monnaie :
Le dé à 6 faces :
La roue de loterie :
On a autant de chances d’obtenir On a autant de chances d’obtenir On a deux fois plus de chances
pile que face : …….………….
1, que 2, que 3, que 4, que 5,
d’obtenir vert que rose :
……………………………….
que 6 : ………………………..
……………………………….
……………………………….
………………………………..
……………………………….
d. Calculer une probabilité
Propriété : la probabilité d’un évènement est égale au quotient :
La pièce de monnaie :
Le dé à 6 faces :
La roue de loterie :
On considère l’évènement
F : « obtenir face ».
P(F) =
On considère l’évènement
A : « obtenir un nombre pair ».
P(A) =
On considère l’évènement
V : « obtenir vert ».
P(V) =
III.
Calcul de probabilité à l’aide d’un arbre
1er exemple : La pièce de monnaie.
On peut représenter la situation à l’aide d’un arbre :
On indique sur chaque branche, la probabilité de
l’évènement auquel mène la branche.
On peut indiquer sur chaque branche, la probabilité :
2ème exemple : le dé à 6 faces
On peut représenter les issues de l’expérience sous la forme d’un arbre pondéré par des probabilités.
Avec un arbre, on peut calculer la probabilité d’un évènement en additionnant les probabilités
écrites sur ses branches.
3ème exemple :
Chaque élève d’une classe inscrit sur un papier le nombre de SMS qu’il a envoyés la veille. Le tableau
ci-dessous donne la répartition des réponses. On mélange ces papiers dans un sac et on en tire un au
hasard. On lit le nombre inscrit.
Nombre de
0
1
2
3
4
sms envoyés
Effectif
6
5
3
4
2
1. Dessine l’arbre pondéré par les probabilités. Quelle est la somme de ces probabilités ?
5
5
2. Soit l'évènement S : « le papier porte le nombre 0 ou 1 ». Calcule la probabilité de S.
3. Soient les évènements B : « le papier porte le nombre 4 ou plus » et C: « le papier porte le
nombre 2 au plus ». Calcule la probabilité de B puis celle de C.
4ème exemple : Expérience à deux épreuves
Une urne opaque contient trois boules bleues (B), deux boules vertes (V). On tire une boule au hasard,
on la remet dans l’urne, puis on tire une deuxième boule au hasard.
Compléter les branches de l’arbre avec les probabilités correspondantes.