Addition des nombres r¶eels. II { Groupe additif des r

STRUCTURE ALGEBRIQUE DE
L'ENSEMBLE DES REELS
Nous avons d¶e¯ni dans le chapitre pr¶ec¶edent l'ensemble R. Nous allons maintenant le
munir des op¶erations traditionnelles.
I { Addition des nombres r¶
eels.
Nous voulons d¶e¯nir la somme de deux r¶eels, i.e. la somme de deux sections de
Q. Rappelons que la section d¶e¯nissant le r¶eel a est l'ensemble des rationnels qui sont
inf¶erieurs strictement µa a (aprµes plongement de Q dans R).
La remarque ¶evidente suivante
"Un nombre x est inf¶erieure aµ la somme a + b si et seulement si l'on peut ¶ecrire x
comme la somme d'un nombre inf¶erieur aµ a et d'un nombre inf¶erieur µa b" nous conduit
µa la d¶e¯nition suivante de la somme de deux sections :
1 { D¶
e¯nition et th¶
eorµ
eme. Etant donn¶e deux sections ® et ¯, l'ensemble des rationnels somme d'un ¶el¶ement de ® et d'un ¶el¶ement de ¯ est encore une section de Q.
On l'appelle somme de ® et de ¯ et on la note ® + ¯.
® + ¯ = fh 2 Q j 9p 2 ®; 9q 2 ¯; h = p + qg
Sachant que ® et ¯ sont deux parties non vides et major¶ees de Q, il est clair que
® + ¯ est non vide et est major¶e (par la somme d'un majorant de ® et d'un majorant
de ¯).
Il reste aµ montrer la deuxiµeme propri¶et¶e d'une section : prenons un ¶el¶ement h appartenant aµ ® + ¯ et un rationnel quelconque m plus petit que h ; montrons que m est
encore dans ® + ¯.
Sachant que h = p+q oµ
u p est dans ® et q dans ¯, nous pouvons ¶ecrire m = p+(m¡p)
oµ
u m ¡ p est un rationnel plus petit que q (m est inf¶erieur µa p + q) : le rationnel m ¡ p
appartient donc µa la section ¯ et m est un ¶el¶ement de ® + b.
II { Groupe additif des r¶
eels.
Nous allons montrer que l'addition d¶e¯nie ci-dessus confµere aµ R une structure de
groupe additif commutatif, i.e.
²
²
²
²
®+¯ =¯+®
® + (¯ + °) = (® + ¯) + °
®+0=®
tout r¶eel ® admet un oppos¶e ¡® tel que ® + (¡®) = 0.
1
¡
N'oublions pas que 0 d¶esigne ici le z¶ero des r¶eels,i.e. la section Q .
La premiµere propri¶et¶e exprime la commutativit¶e et la seconde exprime l'associativit¶e
de l'addition.
} La commutativit¶e est ¶evidente : tout rationnel s'¶ecrivant de la forme p + q oµ
up
est un ¶el¶ement de ® et q un ¶el¶ement de ¯ s'¶ecrit aussi sous la forme q + p d'un ¶el¶ement
de ¯ et d'un ¶el¶ement de ® et vice-versa. On a donc ® + ¯ = ¯ + ®.
} On v¶eri¯e ais¶ement qu'un rationnel appartient µa ® + (¯ + °) si et seulement si il
est de la forme p + q + r oµ
u les rationnels p; q; r appartiennent respectivement µa ®; ¯; °
(associativit¶e de la somme des rationnels). On en d¶eduit que ® + (¯ + °) = (® + ¯) + °.
} Il est plus d¶elicat de montrer que 0 est ¶el¶ement neutre de la somme des r¶eels : il
faut montrer que ® + 0 µ ®, puis que ® µ ® + 0.
² montrons d'abord que ® + 0 µ ® : un ¶el¶ement de ® + 0 est la somme
d'un ¶el¶ement p de ® et d'un rationnel n¶egatif : il s'agit donc d'un rationnel
plus petit qu'un ¶el¶ement p de la section ®. La seconde propri¶et¶e des sections
implique que c'est encore un ¶el¶ement de la section ®.
² montrons maintenant que ® µ ® + 0. Prenons un ¶el¶ement quelconque h
de la section ® et essayons de l'¶ecrire comme somme d'un autre ¶el¶ement de
cette section et d'un rationnel strictement n¶egatif : ceci est possible car une
section ne contient pas de plus grand ¶el¶ement. Il existe donc un rationnel h0
plus grand que h et encore dans ® : l'¶egalit¶e h = h0 + (h ¡ h0 ) oµ
u h ¡ h0 est
un rationnel n¶egatif permet de conclure.
} Cherchons pour terminer un oppos¶e pour l'addition : en utilisant la caract¶erisation
µ un r¶eel si et seulement si il appartient µ
a la section d¶e¯nissant
"un rationnel est inf¶erieur a
ce r¶eel" et en notant que h < ¡½ () ¡h > ½, nous arrivons µa la d¶e¯nition
¡® = fh 2 Q j ¡h 2
= ®g:
² sachant que le compl¶ementaire d'une section est une partie non vide minor¶ee
de Q et que tout rationnel sup¶erieur µa ¶el¶ement de ce compl¶ementaire en fait
encore partie, il est facile de voir que ¡® est une section de Q, quitte aµ
¶eliminer son ¶eventuel plus grand ¶el¶ement (provenant de l'¶eventuel plus petit
¶el¶ement du compl¶ementaire de ® dans le cas oµ
u ® est une section rationnelle).
² montrons tout d'abord que ® + (¡®) µ 0. Un ¶el¶ement de ® + (¡®) est
la somme d'un ¶el¶ement p de ® et d'un rationnel q tel que ¡q ne soit pas
dans ® : comme tout ¶el¶ement du compl¶ementaire d'une section est sup¶erieur
(strictement) µa tout ¶el¶ement de cette section, nous voyons que p¡(¡q) = p+q
est strictement n¶egatif, ce qui donne l'inclusion voulue.
² montrons maintenant que tout rationnel strictement n¶egatif h peut se mettre sous la forme de la somme d'un ¶el¶ement de la section ® et d'un ¶el¶ement de
son compl¶ementaire. Partons d'un ¶el¶ement quelconque p de ® et consid¶erons
la suite croissante de rationnels pn = p ¡ n £ h. Comme la section ® est une
partie major¶ee de Q, il existe un entier m (unique d'ailleurs) tel que pm soit
dans ® et pm+1 soit dans le compl¶ementaire de ®. Nous pouvons alors ¶ecrire
h = pm + (¡pm+1 ) oµ
u le rationnel ¡pm+1 est dans la section ¡®.
2
III | Valeur absolue d'un r¶
eel.
On appelle valeur absolue d'un r¶eel ½ et l'on note j½j le r¶eel ¶egal aµ ½ si celui-ci est
positif ou nul et ¶egal aµ l'oppos¶e ¡½ dans le cas contraire.
Le lecteur v¶eri¯era par lui-m^eme que l'in¶egalit¶e triangulaire
jj®j ¡ j¯jj ∙ j® + ¯j ∙ j®j + j¯j
est encore v¶eri¯¶ee pour tous r¶eels.
IV | Groupe multiplicatif des r¶
eels positifs.
Nous allons d¶e¯nir la multiplication des r¶eels strictement positifs. Le produit de deux
r¶eels quelconques sera ensuite d¶e¯ni par le produit des valeurs absolues et la c¶elµebre rµegle
des signes.
La d¶e¯nition de la section produit s'inspire d'une remarque analogue aµ celle ayant
donn¶e naissance aµ la somme de sections :
Un nombre positif est inf¶erieur au produit de deux nombres positifs a et b si et seulement si on peut l'¶ecrire comme produit d'u nombre positif inf¶erieur a
µ a et d'un nombre
positif inf¶erieur a
µ b.
1 { d¶
e¯nition.
Le produit de la section ® par la section ¯ est la r¶eunion des rationnels n¶egatifs et
des rationnels produits d'un ¶el¶ement positif de ® par un ¶el¶ement positif de ¯ :
¡
®£¯ = Q
[
fh = p:q j p 2 ®+ ; q 2 ¯ + g
L'ensemble de rationnels ® £ ¯ est non vide et major¶e (par le produit d'un majorant
de ® et d'un majorant de ¯). Un rationnel positif h inf¶erieur au produit p:q d'un ¶el¶ement
de ® et d'un ¶el¶ement de ¯ peut s'¶ecrire h = hq £ q oµ
u le rationnel hq est plus petit que p
et appartient donc µa la section ®.
Nous avons bien d¶e¯ni une section des rationnels.
+¤
2 { Structure de groupe multiplicatif de R .
Il s'agit de montrer les quatre propri¶et¶es :² ® £ ¯ = ¯ £ ®
² ® £ (¯ £ °) = (® £ ¯) £ °
² ® £ 1R = ®
² tout r¶eel ® admet un inverse ®¡1 tel que ® £ (®¡1 ) = 1R .
N'oublions pas que 1R d¶esigne ici le "un" des r¶eels, i.e. l'ensemble des rationnels
stricement plus petits que 1.
} La premiµere propri¶et¶e exprime la commutativit¶e et la seconde exprime l'associativit¶e
de la multiplication. Elles d¶ecoulent de ces m^emes propri¶et¶es dans les rationnels.
} Montrons que la section 1R est ¶el¶ement neutre pour le produit.
3
² montrons d'abord l'inclusion ®£1R µ ® : il su±t de montrer que le produit
d'un ¶el¶ement positif p de ® par un rationnel positif strictement inf¶erieur µa 1
est encore dans la section ®. Ce produit est un rationnel strictement inf¶erieur
µa p et appartient bien µa la section ®.
² montrons maintenant l'inclusion ® µ ® £ 1R : il su±t de montrer que
tout ¶el¶ement positif p de la section ® est le produit d'un ¶el¶ement de cette
section par un rationnel positif strictement inf¶erieur µa 1. Comme une section
ne possµede pas de plus grand ¶el¶ement, il existe un rationnel q > p dans ®
: il su±t alors d'¶ecrire p comme le produit de q par le rationnel pq qui est
strictement plus petit que 1.
} cherchons maintenant un inverse µa la section ®. La remarque ¶evidente (avec des
nombres positifs) "h < 1½ () h1 > ½" conduit µa la d¶e¯nition suivante :
¡[
1
2
= ®g:
h
² le compl¶ementaire d'une section ¶etant non vide minor¶e, ®¡1 est non vide
major¶ee ; tout rationnel sup¶erieur µa un ¶el¶ement du compl¶ementaire d'une
section fait encore partie de ce compl¶ementaire, ce qui permet d'a±rmer par passage aµ l'inverse - que tout rationnel inf¶erieur µa un ¶el¶ement de ®¡1
en fait encore partie. Nous avons bien d¶e¯ni une section, quitte µa ¶eliminer
l'¶eventuel plus grand ¶el¶ement si ® ¶etait une section rationnelle.
² montrons l'inclusion ® £ ®¡1 µ 1R : il su±t de montrer que le produit
d'un ¶el¶ement strictement positif p de ® par un ¶el¶ement strictement positif
q de ®¡1 est un rationnel strictement plus petit que 1. Comme 1q n'est pas
dans ®, nous avons p < 1q (tout ¶el¶ement d'une section est inf¶erieur µa tout
¶el¶ement du compl¶ementaire de cette section), ce qui donne le r¶esultat.
² montrons maintenant l'inclusion en sens inverse : il s'agit de montrer que
tout rationnel h strictement compris entre 0 et 1 peut s'¶ecrire comme produit
d'un ¶el¶ement de ® par un ¶el¶ement de ®¡1 .
Prenons un ¶el¶ement quelconque strictement positif a de ® et consid¶erons
a
la suite croissante de rationnels an = n . Comme ® est major¶ee, il exh
iste un (unique) entier m tel que am soit dans ® et am+1 soit dans son
1
1
compl¶ementaire. Nous pouvons alors ¶ecrire h = am £
oµ
u
est dans
am+1
am+1
®¡1 .
L'ensemble des r¶eels strictements positifs est donc un groupe multiplicatif ab¶elien
(commutatif).
®¡1 = Q
fh > 0 j
V | Multiplication des r¶
eels.
Le produit de deux r¶eels quelconques est donn¶e par sa valeur absolue (le produit des
valeurs absolues) et son signe (donn¶e par la c¶elµebre rµegle des signes).
Le produit d'un r¶eel quelconque par 0 donne 0 (on peut d'ailleurs le v¶eri¯er en
extrapolant la d¶e¯nition du produit de deux r¶eels positifs au cas oµ
u l'un est nul : la
section obtenue est r¶eduite aux rationnels strictement n¶egatif, i.e. aµ 0).
4
¤
L'ensemble R des r¶eels non nuls est un groupe multiplicatif ab¶elien pour cette multiplication.
VI | Structure de corps de
R.
Le lecteur v¶eri¯era µa titre d'exercice que la multiplication est distributive par rapport
µa l'addition, i.e.
(® + ¯) £ ° = ® £ ° + ¯ £ °
pour tous r¶eels ®; ¯; °.
L'ensemble de toutes les propri¶et¶es ¶enonc¶es confµere aµ R une structure de corps commutatif.
Montrons pour terminer que l'addition des r¶els et la multiplication des r¶eels positifs
sont compatibles avec la relation d'ordre d¶e¯nie sur R.
} montrons que si ® ∙ ®0 et ¯ ∙ ¯ 0 alors ® + ¯ ∙ ®0 + ¯ 0 .
Un ¶el¶ement quelconque de ® + ¯ est de la forme p + q oµ
u p appartient µa ® et q
appartient µa ¯. Dire que ® ∙ ®0 et ¯ ∙ ¯ 0 signi¯e que tout ¶el¶ement de ® appartient µa
®0 et que tout ¶el¶ement de ¯ appartient aµ ¯ 0 . Il en r¶esulte que p + q est dans ®0 + ¯ 0 .
L'inclusion ® + ¯ µ ®0 + ¯ 0 en tant que parties de Q traduit l'in¶egalit¶e voulue entre
r¶eels.
} le raisonnement est analogue pour la multiplication : si 0 ∙ ® ∙ ®0 et 0 ∙ ¯ ∙ ¯ 0
alors 0 ∙ ® + ¯ ∙ ®0 + ¯ 0 . Il su±t de raisonner avec les rationnels strictement positifs
de chaque section et d'utiliser le m^eme argument que ci-dessus.
Nous dirons pour conclure que R est un corps totalement ordonn¶e.
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