Nombres rationnels et proportionnalité Fiche professeur N°7 Enfin

Nombres rationnels et proportionnalité
Fiche professeur N°7
Enfin, on exploite la définition d'un nombre rationnel comme quotient pour en faire un outil pour
traiter les situations de proportionnalité : il permet de généraliser la notion de "nombre de fois" du
cas où ce "nombre de fois" est entier, au cas où il est rationnel. Le cas où le nombre rationnel est
décimal est intéressant à la fois sur le plan pratique et sur le plan théorique.
Illustrons ceci avec des écrits de type tableau :
Un nombre entier de fois :
x
3 fois
3
4 kg
12 kg
15 €
?
×
3
Un nombre décimal de fois :
1,2 fois
0,375 fois
× 1,2 ou ×
12
10
10 L
×
12 L
7,23 €
×
?
1,2
0,375 ou 37,5 %
100 cl
37,5 cl
10,67 €
?
×
0,375
Pour multiplier 7,23 par 1,2 on multiplie 7,23 par 12 puis on divise par 10.
12
12
Pour multiplier par
on multiplie par 12 et on divise par 10.
Or 1,2 =
10
10
Groupe National Mathématiques : Les automates. A.Pressiat
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Pour multiplier 10,67 par 0,375 on multiplie 10,67 par 375 puis on divise par 1000.
375
375
Or 0,375 =
Pour multiplier par
on multiplie par 375 et on divise par 1000.
1000
1000
Un nombre rationnel de fois :
12
fois
7
×
12
7
7 kg
12 kg
15,47 €
?
×
12
7
– Le raisonnement précédent est valable même lorsque le dénominateur du quotient est différent de
12
10. Ainsi pour calculer 15,47 € x
on peut utiliser la technique suivante :
7
on multiplie 15,47 € par 12 et on divise le résultat par 7 : on trouve 26,52 €. On s’appuie ainsi sur
12
le fait que
est le "septième de douze".
7
En faisant abstraction des grandeurs pour tout rabattre sur le numérique, cela veut dire que l'on
b c×b
.
utilise la formule : c × =
a
a
12
– On peut également s'appuyer sur le fait que
c’est "douze septièmes" : on calcule
7
1 septième de 15,47 €, en divisant par 7 ; cela fait 2,21 €, puis on calcule 12 septièmes en
multipliant par 12 : 2,21 € x 12 ; cela fait 26,52 €.
En faisant abstraction des grandeurs pour tout rabattre sur le numérique, cela veut dire que l'on
utilise la formule : c ×
–
b c
= × b.
a a
On peut également utiliser la calculatrice : on calcule
12
. La calculatrice affiche
7
12
= 1,714285714. Puis on multiplie le nombre ainsi obtenu par 15,47 (€) : cela fait 26,52 (€).
7
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