Espaces vectoriels, partie 2

MAT 1200:
Introduction à l’algèbre linéaire
Saïd EL MORCHID
Département de Mathématiques et de Statistique
Chapitre 4: Les espaces vectoriels (partie 2)
Références
Sous-espaces associés à une matrice (Livre pages 159 et 216)
Définitions
Exemples
Théorèmes
L’espace nul ou noyau d’une matrice (Livre pages 160 et 214 )
Définition
Exemples
Théorème du rang
Références:
• Notes de cours chapitre 4 (4.6) page 84.
• Livre: Section 4.6, pages 159-172, 214-223, 247-256.
Sous-espaces associés à une matrice (Livre pages 159 et
216)
Définitions
Soit une matrice A ∈ Mm,n . On appelle espace des rangées ou lignes de A le
sous-espace de IRn engendré par ses rangées, noté Lgn A.
On appelle espace des colonnes de A le sous-espace de IRm engendré par ses
colonnes, noté Col A ou Im A.
Remarque:
L’espace des rangées d’une matrice est égale à l’espace des colonnes de sa
matrice transposée et inversement.
Exemples
On considère les matrices

1
A= 2
3
2
6
10
0
−3
−6


1
−1
 1


−3
, B=
2
−5
3
3
4
3
8
1
3
−4
1
−2
−1
−7
−7

−3
−4 

−3 
−8
a) Trouver une base de l’espace des rangées des matrices A et B et en
déduire le rang de A et B.
b) Trouver une base de l’espace des colonnes des matrices A et B.
Lemme
Soit A ∈ Mm,n .
(a) Si B est une matrice équivalente à A par les rangées, l’espace des rangées
de B est le même que celui de A.
(b) Les rangées non nulles d’une forme échelon de A forment une base de
l’espace des rangées de A.
Théorème
Soit A ∈ Mm,n . Alors la dimension de l’espace des rangées de A est égale à la
dimension de l’espace de ses colonnes est égale au rang r de la matrice A.
Exemple
Chercher une matrice A telle que le sous-espace W suivant soit égale à l’espace
des colonnes de A. Quelle est la dimension de W et quel est le rang de A?




6a − b


W = u~ =  a + b  : a, b ∈ IR


−7a
Théorème:
Pour toute matrice A carrée n × n, les énoncés suivants sont équivalents
(i) A est inversible,
(ii) A est équivalente suivant les rangées à In ,
(iii) rang A = n,
(iv) les rangées de A sont linéairement indépendantes,
(v) les colonnes de A sont linéairement indépendantes.
L’espace nul ou noyau d’une matrice (Livre pages 160 et
214)
Définition:
Soit A ∈ Mm,n . L’espace nul ou noyau de la matrice A, noté Nul (A) ou Ker A,
est l’ensemble des toutes les solutions du système homogène A~
x = ~0. C’est à
dire
n
o
Nul(A) = KerA = ~
x ∈ IRn |A~
x = ~0 .
Exemple :
−2
.
1


5
Est ce que le vecteur u~ =  3  appartient à Ker A?
−2
Soit A =
1
−5
−3
9
Théorème du rang (Livre page 250)
Théorème:
Soit A ∈ Mm,n . Alors
(i) l’espace Ker A est un sous-espace vectoriel de IRn . Sa dimension est égale
au nombre des variables libres dans le système A~
x = ~0.
(ii) l’espace des colonnes de A, est un sous-espace vectoriel de IRm . Sa
dimension es égale au nombre de colonnes pivots de A.
(iii) Théorème du rang: dim Ker A + dim Im A = n.
Exemple:
Soit la matrice

2
A =  −2
3
4
−5
7
−2
7
−8

1
3 
6
(i) l’espace Ker A est un sous-espace vectoriel de IRk , que vaut k?
(ii) l’espace des colonnes de A est un sous-espace vectoriel de IRk , que vaut k?
(iii) Déterminer une base de Ker A,
(iv) Déterminer une base de Col A=Im A.
Exemple:
Pour chacune des matrices A suivantes, donner une base de Ker A et
ColA=ImA et vérifier la propriété (iii) du théorème précédent.
1 3 5
0
1) A =
;
0 1 4 −2


1 5 −4 −3 1
1
0 ;
2) A =  0 1 −2
0 0
0
0
0


7
−2
0
 −2
0
−5 
.
3) A = 
 0
−5
7 
−5
7
−2
Exemple:
En utilisant une matrice A et ses espaces Ker A ou Col A=Im A , montrer que
les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels




a






 b 
a − 2b = 4c
4


∈
IR
:
(1)W = u~ = 
c 
2a = c + 3d 





d




2s + 3t






 r + s − 2t 
4


(2)W = u~ = 
∈
IR
:
r
,
s,
t
∈
IR
4r + s 






3r − s − t