843 - le 19 Juin 2010 DS 11 - 4 heures Calculatrices autorisées. 1 Analyse (d’après Edhec 2008) Z π/3 On définit, pour tout n ∈ N : Un = 0 sinn x dx. cos x 1. Calculer U1 . 2. Exprimer Un+2 − Un en fonction de n, et en déduire la valeur de U3 . 3. Montrer que U est monotone, puis convergente. 4. À l’aide d’une majoration naïve de l’intégrale, trouver la limite de U . n X On définit désormais pour tout n ∈ N : Sn = Uk . k=0 5. Montrer que S est convergente. 6. Prouver : Z ∀n ∈ N, Sn = 0 π/3 1 dx − cos x (1 − sin x) Z 0 π/3 sinn+1 x dx. cos x (1 − sin x) 7. En déduire la valeur de la limite de S sous forme d’une intégrale. x 8. À l’aide du changement de variable t = tan puis d’une décomposition en éléments simples, 2 calculer cette intégrale. Algèbre : autour de l’équation u4 = IdE 2 E est ici un R-espace vectoriel de dimension 4. On s’intéresse dans ce problème aux endomorphismes u de E vérifiant : u4 = IdE . 2.1 Un premier exemple −1 0 On note ici A = 2 2 0 −1 0 0 −1 0 0 1 −1 0 , et u ∈ L(E) tel que Mat(u) = A, avec E une base de E. 1 E 2 1. Vérifier : u4 = IdE . 2. Montrer que u ∈ GL(E) et déterminer u−1 en fonction de u. 3. Déterminer rg(u2 + IdE ). 1 0 4. Montrer qu’il existe une base de E dans laquelle la matrice de u vaut 0 0 2.2 0 −1 0 0 0 0 0 0 . 0 −1 1 0 Cas où u est orthogonal E est ici muni d’un produit scalaire, et on suppose que u est un endomorphisme orthogonal de E vérifiant u4 = IdE , avec de plus u2 − IdE ∈ GL(E). 1. Montrer : u2 = −IdE . Dans la suite, on fixe x0 un vecteur de E de norme 1, et on définit P = Vect (x0 , u(x0 )). 2. Vérifier que u(x0 ) est de norme 1 et orthogonal à x0 . 1 3. Montrer que P est stable par u, et que (x0 , u(x0 )) en constitue une base orthonormée. On note g l’endomorphisme de P égal à la restriction de u à P . 4. Quelle est la nature géométrique de g ? 5. Montrer que P ⊥ est stable par u. 0 1 6. Montrer enfin qu’il existe une base orthonormée de E dans laquelle la matrice de u est : 0 0 2.3 −1 0 0 0 0 0 0 0 . 0 −1 1 0 Le cas général On suppose ici que u ∈ L(E) vérifie u4 = IdE . 1. Montrer : Ker (u2 + IdE ) ⊕ Ker (u2 − IdE ) = E. Vérifier que les deux sous-espaces Ker (u2 + IdE ) et Ker (u2 − IdE ) sont stables par u. 2. (a) Quelle est la nature géométrique de u si Ker (u2 + IdE ) = {0} ? Montrer qu’il existe alors une base de E dans laquelle la matrice de u est diagonale. (b) Réciproquement, on suppose que la matrice de u dans une certaine base est diagonale. Que dire alors de u, puis de Ker (u2 + IdE ) et Ker (u2 − IdE ) ? On suppose dans la suite du problème : Ker (u2 + IdE ) 6= {0}. 3. Montrer que Ker (u2 + IdE ) est de dimension supérieure ou égale à 2. 4. On suppose ici que Ker (u2 + IdE ) est de dimension 2. Que dire de la restriction de u à 0 −1 1 0 IdE ) ? En déduire qu’il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est 0 0 0 0 Ker (u2− 0 0 0 0 . λ1 0 0 λ2 2 5. On suppose ici que Ker (u + IdE ) = E. Montrer qu’il existe une base de E dans laquelle la matrice 0 −1 0 0 1 0 0 0 de u est 0 0 0 −1. 0 0 1 0 6. On suppose enfin que F = Ker (u2 + IdE ) est de dimension 3, et on note v l’endomorphisme de F égal à la restriction de u. En évaluant le déterminant de v, aboutir à une contradiction. 7. Faire le bilan ! 2.4 Brève extension au cas complexe On suppose ici que E est un C-espace vectoriel, et que u ∈ L(E) vérifie u4 = IdE . 1. Vérifier : Ker (u2 + IdE ) = Ker (u − iIdE ) ⊕ Ker (u + iIdE ). 2. Montrer qu’il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est diagonale. 2