Devoir surveillé - Probabilités et statistiques re Cycle ingénieur 1 année - ESME Sudria - 2020/2021 26 novembre 2020 Durée de l'épreuve : 1h30. Documents interdits. Calculatrices autorisées. Exercice 1 (2 points) Que vaut l'espérance d'une variable aléatoire X suivant une loi de Poisson de paramètre α > 0 ? Le démontrer par le calcul. (2 points) Exercice 2 (4,5 points) Une compagnie d'assurance automobile a classé ses assurés en trois classes d'âges : Classe 1 : moins de 25 ans. Classe 2 : de 25 à 50 ans. Classe 3 : plus de 50 ans. Le tableau ci-dessous donne deux informations : • la proportion d'assurés : la proportion d'assurés appartenant à chaque classe ; • la probabilité d'accident : la probabilité qu'un assuré, choisi dans la classe donnée, déclare au moins un accident au cours d'une année (estimation à partir d'études statistiques des années précédentes). Classe 1 2 3 Proportion d'assurés 0.25 0.53 0.22 Probabilité d'accident 0.12 0.06 0.09 1. Un assuré est tiré au hasard dans le chier de la compagnie, quelle est la probabilité qu'il ait déclaré au moins un accident au cours de l'année ? (1,5 point) 2. Quelle est la probabilité qu'un assuré ayant déclaré au moins un accident en cours d'année, ait moins de 25 ans ? (1,5 point) 3. Quelle est la probabilité qu'un assuré âgé de 25 ans ou plus ait au moins un accident en cours d'année ? (1,5 point) Exercice 3 (8 points) Soit p ∈]0; 1[. 1. On lance une pièce de monnaie truquée pour laquelle la probabilité de tomber sur pile est p. (a) On note T1 le nombre de lancers nécessaires pour obtenir le premier pile. Donner la loi de T1 , ainsi que son espérance. (1,5 point) (b) Soit, pour tout k ∈ N tel que k ≥ 2, l'événement Ak : "obtenir un et un seul pile parmi les k − 1 premiers lancers". Calculer P(Ak ). (1,5 point) (c) On note T2 le nombre de lancers nécessaires pour obtenir le deuxième pile. Déduire de la question précédente la loi de T2 et calculer son espérance. (2 points) 2. Soit X et Y deux variables aléatoires (a) Déterminer la loi de X + Y . X de même loi géométrique G(p). (2 points) (b) En déduire la variance de T2 . Rappel : si indépendantes (1 point) suit la loi géométrique de paramètre p alors V(X) = 1−p . p2 Exercice 4 (6 points) Soient un nombre réel λ > 0 et la fonction h dénie, pour tout x ∈ R, par ( 2λe−λx (λx − 1 + e−λx ) si x ≥ 0 h(x) = 0 si x < 0. 1. Montrer que, pour tout y ∈ R, ey − y − 1 ≥ 0 et en déduire que h est une densité de probabilité. (3 points) 2. Soient deux variables aléatoires indépendantes Y ∼ Γ (2, λ) et Z ∼ E(2λ). Déterminer la densité de la variable aléatoire Y + Z . On rappelle que Γ (2) = 1. (3 points) Formulaire • Loi de Bernoulli X ∼ B(p) : P(X = 0) = 1 − p, P(X = 1) = p. • Loi binomiale X ∼ B(n, p) : ∀k ∈ [[0; n]], P(X = k) = nk pk (1−p)n−k où n k = n! . k!(n − k)! • Loi géométrique X ∼ G(p) : ∀k ∈ N∗ , P(X = k) = p(1 − p)k−1 . • Loi de Poisson X ∼ P(α) : ∀k ∈ N, P(X = k) = e−α αk . k! 1 1 (x). b − a [a;b] • Loi exponentielle X ∼ E(λ) : ∀x ∈ R, f (x) = λe−λx 1[0;+∞[ (x). • Loi uniforme X ∼ U([a; b]) : ∀x ∈ R, f (x) = (x−m)2 1 • Loi normale X ∼ N (m, σ 2 ) : ∀x ∈ R, f (x) = √ e− 2σ2 . σ 2π ´ +∞ a−1 −t λa e−λx 1[0;+∞[ (x) où Γ (a) = t e dt. 0 Γ (a) 1 α • Loi de Cauchy X ∼ C(m, α) : ∀x ∈ R, f (x) = . π (x − m)2 + α2 • Loi Gamma X ∼ Γ (a, λ) : ∀x ∈ R, f (x) = xa−1 Page 2
