I Mesure en radians d`un angle géométrique
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Lycée St-Joseph de Tivoli I Première S Mars 2017 Mesure en radians d’un angle géométrique I.1 Définition ‘ un angle géométrique. Soit xOy ‘ admet une mesure en radians ; L’angle géométrique xOy on l’obtient de la façon suivante : ⊲ ....................................................... ⊲ ....................................................... Définition 1. ‘ ................................. Dans ce contexte, on appelle mesure en radians de l’angle géométrique xOy ................................................................................................................... ................................................................................................................... ‘ un angle plat c-à-d tel que [Ox) et [Oy) sont parallèles et de sens contraires. Exemple 1. Soit xOy ‘ un angle droit c-à-d tel que [Ox) ⊥ [Oy). Exemple 2. Soit xOy ‘ un angle droit c-à-d tel que [Ox) ⊥ [Oy). Construisons la bissectrice d de xOy. ‘ Exemple 3. Soit xOy I.2 Lien avec le degré Parce qu’on préfère mesurer avec des entiers ou des décimaux, on a choisi de partager le demi-cercle en 180 petits arcs de même longueur. On a ainsi créé une autre unité de mesure que le radian, plus souple pour les mesures, appelé « degré » et définie par la correspondance : ......................................................................... - 1/15 - LATEX 2ε Première S Lycée St-Joseph de Tivoli On a donc : 1 radian = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 degré = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mars 2017 Propriété 1. ............................................................... ............................................................... Exemple 4. Les calculs de conversion degré-radian peuvent se faire simplement, à partir de l’égalité 180° = π rad : 3π 3 rad = × π rad =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 ◮ inversement, on aura : 165° = . . . . . . . . . . . . × 180° = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ◮ ◮ On retiendra les conversions suivantes fréquemment utilisées : Mesure en radians 0 π π π π 2π 3π 5π 6 4 3 2 3 4 6 π Mesure en degrés I.3 Des résultats de géométrie plane exprimés en radians ⊲ Propriété. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................... ⊲ Propriété. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................... ⊲ Application 1 : Construction d’arcs de cercle de longueur π 2π , , etc. 3 3 ............................................................. ............................................................. ............................................................. ............................................................. ⊲ Application 2 : Construction d’arcs de cercle de longueur π 5π , . 6 6 ............................................................. ............................................................. ............................................................. ............................................................. ⊲ Soit ABC un triangle isocèle rectangle en A. ......................... c-à-d : On a : ......................... ......................... d’où : c-à-d : ......................... ......................... ......................... ......................... ......................... Propriété. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................... - 2/15 - LATEX 2ε Première S Lycée St-Joseph de Tivoli II Mars 2017 Angles orientés II.1 Définitions Définition 2. On appelle cercle trigonométrique tout cercle dont le rayon est égal à . . . . . . . . . . . . . . . . . . . + et sur lequel on a choisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O× 1 Par convention, le sens direct est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................................ Rappel utile pour la suite. Le périmètre d’un cercle de rayon r est : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le périmètre d’un cercle de rayon 1 est donc égal à : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le périmètre d’un cercle trigonométrique est donc : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Contexte. Soient ~u et ~v deux vecteurs non nuls du plan. Le couple (~u , ~v ) est appelé angle orienté des vecteurs ~ u et ~ v. Un angle orienté de vecteurs admet des mesures en radians ; on les obtient de la façon suivante : ⊲ on fixe O un point du plan ; ⊲ on construit C le cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1 ; −−→ −−→ ⊲ on construit les représentants OA de ~u et OB de ~v d’origine O ; ⊲ on note M et N les points d’intersection des demi-droites [OA) et [OB) avec le cercle C B A N C ~u ~v M (~u , ~v ) O × × × + Définition 3. Dans ce contexte, on appelle mesure en radians de l’angle orienté (~ u,~ v) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................... ................................................................................................................... Exemple 5. Soient ~u et ~v deux vecteurs colinéaires et de sens contraires. ◮ Si on considère le trajet bleu allant ◮ Si on considère le trajet bleu allant de M vers N ci-contre , de M vers N ci-contre , ⊲ ............................. ⊲ ............................. ⊲ ............................. ⊲ ............................. On a donc : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . On a donc : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ◮ Si on considère le trajet rouge al- ◮ Si on considère le trajet rouge al- lant de M vers N ci-contre , lant de M vers N ci-contre , ⊲ ............................. ⊲ ............................. ⊲ ............................. ⊲ ............................. On a donc : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . On a donc : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 3/15 - LATEX 2ε Lycée St-Joseph de Tivoli Remarque. Première S Mesures de (~u,~v ) Mars 2017 π Ces mesures de (~u , ~v ) s’obtiennent toutes à partir de la première (π rad) en lui ajoutant des . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toutes les mesures de (~u , ~v ) s’obtiennent donc à partir de sa mesure π rad en ajoutant des . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . On note alors : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ou encore : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exemple 6. Soient ~u et ~v deux vecteurs portés par des droites perpendiculaires. Remarque. ◮ Si on considère le trajet bleu allant ◮ Si on considère le trajet bleu allant de M vers N ci-contre , de M vers N ci-contre , ⊲ ............................. ⊲ ............................. ⊲ ............................. ⊲ ............................. On a donc : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . On a donc : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ◮ Si on considère le trajet rouge al- ◮ Si on considère le trajet rouge al- lant de M vers N ci-contre , lant de M vers N ci-contre , ⊲ ............................. ⊲ ............................. ⊲ ............................. ⊲ ............................. On a donc : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . On a donc : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mesures de (~u,~v ) π π rad) en lui ajoutant des . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 π Toutes les mesures de (~u , ~v ) s’obtiennent donc à partir de sa mesure rad en ajoutant des . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 On note alors : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ces mesures de (~u , ~v ) s’obtiennent toutes à partir de la première ( ou encore : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 4/15 - LATEX 2ε Lien entre les mesures en radians d’un angle (~u , ~v) Soient ~u et ~v les deux vecteurs ci-dessous. Les trajets sur le cercle allant de M vers N sont de deux types : Les trajets indirects Ce sont les trajets commençant par suivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ce sont les trajets commençant par suivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................. ................................................................................. ................................................................................. ................................................................................. ................................................................................. ................................................................................. (~u , ~v ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (~u , ~v ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (~u , ~v ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (~u , ~v ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Donc (~u , ~v ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Donc (~u , ~v ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c-à-d : (~u , ~v ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c-à-d : (~u , ~v ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Première S - 5/15 - Les trajets directs Lycée St-Joseph de Tivoli II.2 L’étude précédente se généralise à tout angle de deux vecteurs. On obtient ainsi la propriété suivante : Propriété 2. Si α est une mesure en radians d’un angle orienté de deux vecteurs (~u , ~v ), alors toutes les autres mesures de (~u , ~v ) sont de la forme : ................................................................................................................... Mars 2017 LATEX 2ε On note cela : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lycée St-Joseph de Tivoli II.3 Une mesure particulière Le trajet allant de M vers N empruntant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................. Dans ce cas, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................. ................................................................................. ................................................................................. ................................................................................. Ä−−→ −−→ä La mesure principale de OM , ON est donc . . . . . . . . . . . . ................................................................................. Ä−−→ −−→ä La mesure principale de OM , ON est donc . . . . . . . . . . . . 2nd cas : angle indirect - 6/15 Si N est sur le demi-cercle bleu, alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Si N est sur le demi-cercle rouge, alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................. ................................................................................. ................................................................................. ................................................................................. Ainsi, la mesure principale de (~u , ~v ) : Ainsi, la mesure principale de (~u , ~v ) : ◮ est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ◮ est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ◮ appartient donc à . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ◮ appartient donc à . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Définition 4. Tout angle orienté de vecteurs (~u , ~v ) admet une mesure appartenant à l’intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cette mesure s’appelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mars 2017 LATEX 2ε On obtient ainsi la définition suivante : Première S Dans la détermination de la mesure principale d’un angle orienté, deux cas se présentent : 1er cas : angle direct Lien entre angle géométrique et angle orienté Reprenons les deux cas précédents : 1er cas : angle direct 2nd cas : angle indirect Si N est sur le demi-cercle bleu, alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Si N est sur le demi-cercle rouge, alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................. ................................................................................. ................................................................................. ................................................................................. Ainsi, la mesure principale de (~u , ~v ) : Ainsi, la mesure principale de (~u , ~v ) : ◮ est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ◮ appartient donc à . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ◮ appartient donc à . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ÷ Rappel. La mesure en radians de l’angle géométrique M ON est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ä−−→ −−→ä Dans ce cas, la mesure principale de l’angle orienté OM , ON est égale à . . . . . . Ä−−→ −−→ä Dans ce cas, la mesure principale de l’angle orienté OM , ON est égale à . . . . . . ................................................................................. ................................................................................. Première S - 7/15 - ◮ est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lycée St-Joseph de Tivoli II.4 Ä− − → −→ä π Exemple 7. Soit ABC un triangle équilatéral avec AB , AC = . 3 H est le pied de la hauteur issue de A. Ä−− → −−→ä Ä−−→ −→ä Ä−−→ −−→ä Ä−−→ −−→ä Ä−−→ −−→ä Déterminer une mesure des angles orientés AB , AH , CB , CA , HA , HC , BH , BC et HB , HC . Solution. Cahier d’exercices. Mars 2017 LATEX 2ε Lycée St-Joseph de Tivoli II.5 Première S Mars 2017 Propriétés Propriété 3 (Angles orientés et colinéarité). Soit ~u et ~v deux vecteurs non nuls. ◮ ~u et ~v sont colinéaires ssi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ◮ ~u et ~v sont colinéaires de même sens ssi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ◮ ~u et ~v sont colinéaires de sens contraires ssi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propriété 4 (Relation de Chasles pour les angles orientés). Soient ~u, ~v et w ~ trois vecteurs non nuls. On a : ......................................................... Propriété 5 (Conséquences de la relation de Chasles). Soient ~u et ~v deux vecteurs non nuls. On a : ◮ (~v , ~u) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ◮ Soient a et b deux réels non nuls. ⊲ Si a et b sont de même signe, alors : ............................................... ⊲ Si a et b sont de signes contraires, alors : ............................................... ◮ Cas particuliers fréquents : (−~u, − ~v ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; (−~u,~v ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; (~u, − ~v ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III Repérage sur le cercle trigonométrique + Contexte. On considère le cercle trigonométrique C de centre O. O× 1 b On fixe un point de C , disons I, qu’on appellera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I Pour signifier que I a été choisi comme origine de C , on notera ce cercle . . . . . . . . . . . . Définition 5. Soient CI un cercle trigonométrique de centre O et d’origine I et M un point de CI . On appelle abscisse curviligne de M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D’après la définition 3, une abscisse curviligne de M est donc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... Exemple 8. Compléter le tableau suivant. - 8/15 - LATEX 2ε Lycée St-Joseph de Tivoli Première S Mars 2017 Exemple 9. 1. Pour chaque point, déterminer 3 abscisses curvilignes distinctes α1 , α2 et α3 telles que α1 ∈ ] −π ; π ], α2 > 0 et α3 < 0. J ⊲ Trois abscisses curvilignes de I : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C b b b ⊲ J est tel que (OI) ⊥ (OJ). Trois abscisses curvilignes de J : . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................................. K b A O× b ⊲ K est diamétralement opposé à I. Trois abscisses curvilignes de K : . . . . . . . . . .............................................................................. b b B L ⊲ L est diamétralement opposé à J. Trois abscisses curvilignes de L : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................. ‘ . Trois abscisses curvilignes de A : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⊲ A appartient à la bissectrice de IOJ .................................................................................................................. ⊲ B est tel que le triangle IOB soit équilatéral. Trois abscisses curvilignes de B : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................. ⊲ C est tel que le triangle KOC soit équilatéral. Trois abscisses curvilignes de C : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................. ã Å ã Å 11π 7π et F . 2. Sur ce même cercle, placer à la règle et au compas les points D (5π), E − 4 3 Nous retiendrons les résultats suivants : - 9/15 - LATEX 2ε I Lycée St-Joseph de Tivoli Première S Mars 2017 Définition 6. ◮ Soit M un point de CI dont une abscisse curviligne est α. Tous les réels de la forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sont encore des . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de M . ◮ Les abscisses curvilignes d’un même point diffèrent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elles sont donc toutes égales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ◮ On appelle abscisse curviligne principale de M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D’après ce que l’on sait sur la mesure principale d’un angle orienté (cf II.3) : ⊲ L’a.c.p. de M appartient à l’intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⊲ Sur le cercle, l’a.c.p. de M est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................................ Exemple 10. Compléter le tableau suivant. IV IV.1 Trigonométrie Cosinus et sinus d’un nombre réel Contexte. On considère le cercle trigonométrique C sur lequel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . On note J le point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −→ −→ Le triplet (O; OI ; OJ) constitue alors un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soit x un nombre réel. On considère le point M du cercle CI d’abscisse curviligne x. Définition 7. Dans ce contexte, on appelle : ◮ ............................................................................................................. ............................................................................................................. ◮ ............................................................................................................. ............................................................................................................. - 10/15 - LATEX 2ε Première S Lycée St-Joseph de Tivoli Mars 2017 Exemple 11 (Calculs de valeurs remarquables). ◮ Calculs de cos 0 et sin 0. Le point de CI d’abscisse curviligne 0 (2π) est . . . . . . . Par suite : cos 0 = xI = . . . . . . ◮ Calculs de cos π 2 et sin π 2 et sin 0 = yI = . . . . . . . . Le point de CI d’abscisse curviligne cos π = xJ = . . . . . . 2 et sin π (2π) est . . . . . . . Par suite : 2 π = yJ = . . . . . . 2 ◮ Calculs de cos π et sin π. Le point de CI d’abscisse curviligne π (2π) est I ′ , le . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cos π = xI ′ = . . . . . . ◮ Calculs de cos 3π 2 et sin 3π 2 π 3 sin π = yI ′ = . . . . . . . Le point de CI d’abscisse curviligne cos ◮ Cosinus et sinus de et 3π = xJ ′ = . . . . . . 2 et sin 3π (2π) est J ′ , le . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3π = yJ ′ = . . . . . . 2 . Soit M le point de CI d’abscisse curviligne principale π . 3 ’ = ...... On a alors : IOM Le triangle OM I, isocèle en O, possède alors un angle de mesure J π . 3 b M b C Il est alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~ et ses trois côtés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I′ b b Posons H le pied de la hauteur issue de M . Le triangle OM I I b b H ~ı O étant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , la hauteur (HM ) issue de M est aussi la b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et H en est donc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Par suite, cos J′ π π = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et sin = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 ◮ Cosinus et sinus de π . 6 J b π Soit M le point de CI d’abscisse curviligne principale . 6 C On note aussi M le symétrique de M par rapport à (OI). On a alors : ’ = . . . . . . . ; IOM ÷′ = . . . . . . . et donc : M ◊ IOM OM ′ = . . . . . . . Le triangle OM M ′ , isocèle en O, possède alors un angle de mesure M ~ ′ I′ b b b π . 3 Il est alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et ses trois côtés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b ~ı O I b M′ b J′ Posons H le point d’intersection de (M M ′ ) et (OI). M ′ étant le symétrique de M par rapport à (OI), (OI) est la médiatrice de [M M ′ ]. Par suite, sin π π = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et cos = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 - 11/15 - LATEX 2ε Première S Lycée St-Joseph de Tivoli ◮ Cosinus et sinus de Mars 2017 π . 4 Soit M le point de CI d’abscisse curviligne principale ’ = ...... On a alors : IOM π . 4 J b Notons H le projeté orthogonal de M sur (OI). Le triangle OM H est alors un triangle rectangle dont un angle, à savoir . . . . . . . . . . . . , mesure . . . . . . . M C b ~ La somme des trois angles étant égale à π rad, on a : I′ ÷ OM H =................................................................... b b b ~ı H O b I Le triangle OM H possède donc deux angles de même mesure. En définitive, ce triangle est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b J′ D’après . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , on a alors : ..................................................................................................................... soit : OH = M H = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Par suite, cos π π = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et sin = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 Propriété 6. On a, pour tout réel x et tout entier relatif k : ◮ . . . . . . 6 cos x 6 . . . . . . et ◮ cos(x + 2kπ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 sin x 6 . . . . . . . et sin(x + 2kπ) = . . . . . . . . . . . . . ◮ (cos x)2 + (sin x)2 = . . . . . . , plus souvent noté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Démonstration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... - 12/15 - LATEX 2ε Première S Lycée St-Joseph de Tivoli IV.2 Mars 2017 Cosinus et sinus des angles associés Propriété 7. Pour tout réel t, on a : ◮ cos(−t) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et sin(−t) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ◮ cos(π − t) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et sin(π − t) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ◮ cos(π + t) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et sin(π + t) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Remarque. Dans un repère orthonormé, on note ∆ la droite d’équation y = x. ◮ Si A(1; 2), alors son symétrique par rapport à ∆ est A′ ( ; ) ◮ Si B(−3; 1), alors son symétrique par rapport à ∆ est B ′ ( ; ′ ◮ Si C(2; −1), alors son symétrique par rapport à ∆ est C ( ) ; ) On admettra que ces constatations se généralisent à tout point M (x; y) du plan, c-à-d : Si M (x; y), alors son symétrique par rapport à ∆ est M ′ ( ; ). Propriété 8. Pour tout réel t, on a : π − t = . . . . . . . . . . . . . . et sin − t = .............. 2 2 ◮ cos π ◮ cos π IV.3 π + t = . . . . . . . . . . . . . . et sin + t = .............. 2 2 Valeurs remarquables Propriété 9. On retiendra les valeurs particulières suivantes : x 0 π π π π 2π 3π 5π 6 4 3 2 3 4 6 π cos x sin x - 13/15 - LATEX 2ε Équations trigonométriques Commençons par un exemple introductif. On cherche à résoudre l’équation : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Notons M le point d’abscisse curviligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Par définition, cos x est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cos x = − 1 ⇔ ................................................................................................................ 2 Lycée St-Joseph de Tivoli V ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... L’ensemble des solutions de l’équation cos x = − ............................................................................................................................... Première S - 14/15 - 1 est donc : 2 1 Bilan. Pour résoudre l’équation cos x = − , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... L’équivalence du bilan précédent se généralise et l’on peut remplacer 2π 3 par un réel a quelconque. On obtient alors la propriété suivante : Propriété 10. Soit a un réel. ◮ cos(x) = cos(a) ⇔ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ◮ L’ensemble des solutions de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . LATEX 2ε Mars 2017 .......................................................................................................... Notons M le point d’abscisse curviligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Par définition, sin x est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sin x = 1 ⇔ .................................................................................................................. 2 Lycée St-Joseph de Tivoli Considérons à présent l’équation : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... L’ensemble des solutions de l’équation sin x = - 15/15 - ............................................................................................................................... Bilan. Pour résoudre l’équation sin x = Première S 1 est donc : 2 1 , .............................................................................................................................. 2 .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... L’équivalence du bilan précédent se généralise et l’on peut remplacer π 6 par un réel a quelconque. On obtient alors la propriété suivante : Propriété 11. Soit a un réel. ◮ sin(x) = sin(a) ⇔ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ◮ L’ensemble des solutions de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . LATEX 2ε Mars 2017 ..........................................................................................................
