Introduction 201-NYC ALGÈBRE LINÉAIRE ET GÉOMÉTRIE

201-NYC
ALGÈBRE LINÉAIRE
ET
GÉOMÉTRIE VECTORIELLE
Introduction
Algèbre VS Géométrie
Algèbre VS Géométrie
Algèbre VS Géométrie
Pour forger l’intuition
Pour forger l’intuition
Le plan
Pour forger l’intuition
Le plan
L’espace
Algèbre
Cette session, nous étudierons en parallèle l’algèbre et la géométrie.
Algèbre
Cette session, nous étudierons en parallèle l’algèbre et la géométrie.
Dans l’imaginaire collectif, la signification de l’algèbre varie beaucoup.
Algèbre
Cette session, nous étudierons en parallèle l’algèbre et la géométrie.
Dans l’imaginaire collectif, la signification de l’algèbre varie beaucoup.
Dans le cadre de ce cours, l’algèbre est ce que certains nomment
l’algèbre moderne.
Algèbre
Cette session, nous étudierons en parallèle l’algèbre et la géométrie.
Dans l’imaginaire collectif, la signification de l’algèbre varie beaucoup.
Dans le cadre de ce cours, l’algèbre est ce que certains nomment
l’algèbre moderne.
D’un point de vue de l’algèbre moderne, l’algèbre est
l’étude des ensembles munie d’une ou plusieurs opérations.
Algèbre
Cette session, nous étudierons en parallèle l’algèbre et la géométrie.
Dans l’imaginaire collectif, la signification de l’algèbre varie beaucoup.
Dans le cadre de ce cours, l’algèbre est ce que certains nomment
l’algèbre moderne.
D’un point de vue de l’algèbre moderne, l’algèbre est
l’étude des ensembles munie d’une ou plusieurs opérations.
Ça vaut la peine de clarifier un peu ça.
Opération
Définition:
Une opération interne sur un ensemble A est une
règle qui associe à chaque couple d’éléments de A
un autre élément de A.
Opération
Définition:
Une opération interne sur un ensemble A est une
règle qui associe à chaque couple d’éléments de A
un autre élément de A.
Opération
Définition:
Une opération interne sur un ensemble A est une
règle qui associe à chaque couple d’éléments de A
un autre élément de A.
Opération
Définition:
Une opération interne sur un ensemble A est une
règle qui associe à chaque couple d’éléments de A
un autre élément de A.
Opération
Définition:
Une opération interne sur un ensemble A est une
règle qui associe à chaque couple d’éléments de A
un autre élément de A.
Définition:
Une opération externe d’un ensemble B sur un
ensemble A est une règle qui associe à chaque
couple d’un élément de B et d’un élément de A un
autre élément de A.
Définition:
Une opération externe d’un ensemble B sur un
ensemble A est une règle qui associe à chaque
couple d’un élément de B et d’un élément de A un
autre élément de A.
Définition:
Une opération externe d’un ensemble B sur un
ensemble A est une règle qui associe à chaque
couple d’un élément de B et d’un élément de A un
autre élément de A.
On connaît deux opérations internes sur l’ensemble des
nombres réels , soit l’addition et la multiplication.
On connaît deux opérations internes sur l’ensemble des
nombres réels , soit l’addition et la multiplication.
Addition
On connaît deux opérations internes sur l’ensemble des
nombres réels , soit l’addition et la multiplication.
Addition
On connaît deux opérations internes sur l’ensemble des
nombres réels , soit l’addition et la multiplication.
Addition
Multiplication
On connaît deux opérations internes sur l’ensemble des
nombres réels , soit l’addition et la multiplication.
Addition
Multiplication
Propriétés de la somme
Propriétés de la somme
•
Commutativité
Propriétés de la somme
•
Commutativité
Propriétés de la somme
•
Commutativité
•
Associativité
Propriétés de la somme
•
Commutativité
•
Associativité
Propriétés de la somme
•
Commutativité
•
Associativité
•
Existence d’un neutre
Propriétés de la somme
•
Commutativité
•
Associativité
•
Existence d’un neutre
Propriétés de la somme
•
Commutativité
•
Associativité
•
Existence d’un neutre
•
Existence d’un inverse
Propriétés de la somme
•
Commutativité
•
Associativité
•
Existence d’un neutre
•
Existence d’un inverse
Propriétés du produit
Propriétés du produit
•
Commutativité
Propriétés du produit
•
Commutativité
Propriétés du produit
•
Commutativité
•
Associativité
Propriétés du produit
•
Commutativité
•
Associativité
Propriétés du produit
•
Commutativité
•
Associativité
•
Existence d’un neutre
Propriétés du produit
•
Commutativité
•
Associativité
•
Existence d’un neutre
Propriétés du produit
•
Commutativité
•
Associativité
•
Existence d’un neutre
•
Existence d’un inverse
Propriétés du produit
•
Commutativité
•
Associativité
•
Existence d’un neutre
•
Existence d’un inverse
Propriétés du produit
•
Commutativité
•
Associativité
•
Existence d’un neutre
•
Existence d’un inverse
Sauf si
Propriété liant les deux
Propriété liant les deux
Distributivité
Propriété liant les deux
Distributivité
Axiomatisation
Axiomatisation
Euclide, -325 à -265
Axiomatisation
•
Nombre très limité de postulats nommés
«axiomes».
Euclide, -325 à -265
Axiomatisation
•
•
Nombre très limité de postulats nommés
«axiomes».
Tous les résultats sont déduits de ces
axiomes et des règles de la logique.
Euclide, -325 à -265
Géométrie euclidienne
Historiquement, la géométrie et l’algèbre ont été développées de manière
indépendante.
Géométrie euclidienne
Historiquement, la géométrie et l’algèbre ont été développées de manière
indépendante.
Euclide (-325 à -265)
Géométrie euclidienne
Historiquement, la géométrie et l’algèbre ont été développées de manière
indépendante.
Euclide (-325 à -265)
Al-Khwarizmi (783 à 850)
Géométrie euclidienne
Historiquement, la géométrie et l’algèbre ont été développées de manière
indépendante.
Euclide (-325 à -265)
Al-Khwarizmi (783 à 850)
Mais les travaux de mathématiciens arabes du Moyen Âge suivis de ceux de
Descartes ont fait en sorte que la géométrie et l’algèbre se sont enrichies
mutuellement.
Géométrie euclidienne
Historiquement, la géométrie et l’algèbre ont été développées de manière
indépendante.
Euclide (-325 à -265)
Al-Khwarizmi (783 à 850)
Mais les travaux de mathématiciens arabes du Moyen Âge suivis de ceux de
Descartes ont fait en sorte que la géométrie et l’algèbre se sont enrichies
mutuellement.
René Descartes (1596 à 1650)
Espace euclidien
Espace euclidien
Cette session, on va travailler dans des espaces euclidiens.
Espace euclidien
Cette session, on va travailler dans des espaces euclidiens.
On n’est pas tout à fait prêt pour une définition rigoureuse d’un tel espace.
Espace euclidien
Cette session, on va travailler dans des espaces euclidiens.
On n’est pas tout à fait prêt pour une définition rigoureuse d’un tel espace.
On peut temporairement dire qu’un espace euclidien est un espace dans lequel
la géométrie classique fonctionne bien.
Espace euclidien
Cette session, on va travailler dans des espaces euclidiens.
On n’est pas tout à fait prêt pour une définition rigoureuse d’un tel espace.
On peut temporairement dire qu’un espace euclidien est un espace dans lequel
la géométrie classique fonctionne bien.
Par exemple, on veut que la somme des angles internes d’un triangle soit
180 degrés.
Espace euclidien
Cette session, on va travailler dans des espaces euclidiens.
On n’est pas tout à fait prêt pour une définition rigoureuse d’un tel espace.
On peut temporairement dire qu’un espace euclidien est un espace dans lequel
la géométrie classique fonctionne bien.
Par exemple, on veut que la somme des angles internes d’un triangle soit
180 degrés.
En fait, les espaces qu’on va considérer sont la droite, le plan et l’espace.
Espace euclidien
Hum!?!
Par exemple, on veut que la somme des angles internes d’un triangle soit
180 degrés.
Espace euclidien
Hum!?!
Je pensais que c’était toujours vrai ça!
Par exemple, on veut que la somme des angles internes d’un triangle soit
180 degrés.
Pour en savoir plus sur la géométrie non euclidienne, voir la petite BD
(Géométricon) sur mon site.