Introduction 201-NYC ALGÈBRE LINÉAIRE ET GÉOMÉTRIE

201-NYC
ALGÈBRE LINÉAIRE
ET
GÉOMÉTRIE VECTORIELLE
Introduction
Les mathématiques sont abstraites
Vassily Kandinsky
Jackson Pollock
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Algèbre VS Géométrie
Le plus abstrait?
Le plus intuitif ?
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Pour forger l’intuition
Le plan
L’espace
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Algèbre
Cette session, nous étudierons en parallèle l’algèbre et la géométrie.
Dans l’imaginaire collectif, la signification de l’algèbre varie beaucoup.
Dans le cadre de ce cours, l’algèbre est ce que certains nomment
l’algèbre moderne.
D’un point de vue de l’algèbre moderne, l’algèbre est
l’étude des ensembles munie d’une ou plusieurs opérations.
Ça vaut la peine de clarifier un peu ça.
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Opération
Définition:
Une opération interne sur un ensemble A est une
règle qui associe à chaque couple d’éléments de A
un autre élément de A.
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Définition:
Une opération externe d’un ensemble B sur un
ensemble A est une règle qui associe à chaque
couple d’un élément de B et d’un élément de A un
autre élément de A.
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On connaît deux opérations internes sur l’ensemble des
nombres réels , soit l’addition et la multiplication.
Addition
Multiplication
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Propriétés de la somme
•
Commutativité
•
Associativité
•
Existence d’un neutre
•
Existence d’un inverse
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Propriétés du produit
•
Commutativité
•
Associativité
•
Existence d’un neutre
•
Existence d’un inverse
Sauf si
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Propriété liant les deux
Distributivité
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Axiomatisation
•
•
Nombre très limité de postulats nommés
«axiomes».
Tous les résultats sont déduits de ces
axiomes et des règles de la logique.
Euclide, -325 à -265
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Géométrie euclidienne
Historiquement, la géométrie et l’algèbre ont été développées de manière
indépendante.
Euclide (-325 à -265)
Al-Khwarizmi (783 à 850)
Mais les travaux de mathématiciens arabes du Moyen Âge suivis de ceux de
Descartes ont fait en sorte que la géométrie et l’algèbre se sont enrichies
mutuellement.
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René Descartes
(1596 à 1650)
Espace euclidien
Cette session, on va travailler dans des espaces euclidiens.
Hum!?!
On n’est pas tout à fait prêt pour une définition rigoureuse d’un tel espace.
Je pensais que c’était toujours vrai ça!
On peut temporairement dire qu’un espace euclidien est un espace dans lequel
la géométrie classique fonctionne bien.
Par exemple, on veut que la somme des angles internes d’un triangle soit
180 degrés.
En fait, les espaces qu’on va considérer sont la droite, le plan et l’espace.
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Pour en savoir plus sur la géométrie non euclidienne, voir la petite BD
(Géométricon) sur mon site.
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