Chap 4 - Cours2Mat

- Chap 5 Divisions
A savoir :
• Reconnaître les multiples et les diviseurs de nombres donnés
• Connaître les critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5, 9 et 10
• Connaitre le vocabulaire de la division euclidienne
• Savoir poser une division
• Savoir associer un problème à une division euclidienne ou décimale
Chap 5:
Division
I - Multiples et diviseurs:
Les multiples d'un nombre entier sont tous les nombres de sa table de
multiplication.
Exemples: Quelques multiples de 6 :
35 = 7 x 5
On dit aussi que:
donc
6 ; 12 ; 18 … 60 ; 240 …
35 est un multiple de 7 et de 5
35 est divisible par 7 et par 5.
5 et 7 sont des diviseurs de 35.
12 = 1 x 12
=2x6
=3x4
Donc, tous les diviseurs de 12 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 et 12
Chap 5:
Division
I - Multiples et diviseurs:
Ex 18p57 :
a) Ecrire
b) Ecrire
c) Ecrire
d) Ecrire
e) Ecrire
cinq multiples de 7.
cinq multiples de 11.
les multiples de 12 entre 30 et 100.
les multiples de 9 entre 80 et 120.
les multiples de 8 entre 25 et 100.
Ex 19p57 :
a) Ecrire
b) Ecrire
c) Ecrire
d) Ecrire
trois diviseurs de 12.
quatre diviseurs de 18.
quatre diviseurs de 75.
trois diviseurs de 64.
Ex20p57 : Vrai ou faux?
a) 24 est divisible par 6
b) 24 est divisible par 8
c) 24 est un multiple de 4
d) 150 est divisible par 10
e) 236 est un multiple de 5
f) 56 est divisible par 7
Ex21p57 : Vrai ou faux?
a) 8 est divisible par 2
b) 4 est divisible par 8
c) 8 est un multiple de 2
d) 2 est un multiple de 8
e) 15 est un diviseur de 3
f) 3 est un diviseur de 15
Ex 2p51 : Divisibilité par 2; 5 et 10
Ex3p51 : Divisibilité par 3; 9 et 4.
II - Critères de divisibilité:
Un nombre entier est:
• divisible par 2 :
si le chiffre des unités est 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8.
C’est un nombre pair.
• divisible par 5 :
si le chiffre des unités est 0 ou 5.
• divisible par 10 :
si le chiffre des unités est 0.
• divisible par 4 :
si le nombre formé par ses 2 derniers chiffres
est divisible par 4.
exemple:
• divisible par 3 :
exemple:
• divisible par 9 :
324 est divisible par 4
car 24 est divisible par 4
si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
1 248 est divisible par 3
car 1+2+4+8 = 15 et 15 est divisible par 3
si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
II - Critères de divisibilité:
Ex23p57: Voici une liste de nombres: 14 ; 34 ; 5 670 ; 21 455 ; 402 ; 501.
Lesquels sont divisibles:
a) par 2 ?
b) par 5 ?
Ex24p57: Voici une liste de nombres:
Lesquels sont divisibles:
a) par 3 ?
c) par 10 ?
12 ; 23 ; 344 ; 12 546 ; 96 ; 1 800.
b) par 4 ?
c) par 9 ?
Ex25p57: Voici une liste de nombres:
13 ; 25 ; 27 ; 43 ; 50 ; 149 ; 338 ; 1 395 ; 22 035
Lesquels sont divisibles:
par 2?
par 3 ?
par 4 ?
par 5 ?
par 9 ?
par 10 ?
par 13?
Enigmes
Ex79p61:
« Je suis le plus petit entier de 3 chiffres commençant par 4 divisible par 9 »
« Je suis le plus grand entier de 3 chiffres commençant par 7 divisible par 9 »
« Je suis le plus petit entier de 3 chiffres commençant par 4 divisible par 3 »
« Je suis le plus petit entier impair de 3 chiffres commençant par 4 divisible par 3 »
III - Division euclidienne:
Effectuer la division euclidienne d’un nombre entier par un autre
c’est trouver le quotient entier et le reste.
Exemple :
dividende
reste
4233
- 36_
6
- 54_
9
18
23
ATTENTION: le reste doit être inférieur au diviseur.
On a alors l’égalité :
diviseur
423
=
23 ×
18
+ 9
dividende = quotient × diviseur + reste
quotient
III - Division euclidienne:
Ex6p56:
a) Poser les divisions euclidiennes suivantes:
458: 6
235 : 14
b) compléter:
• Dans la division euclidienne de 458 par 6,
le reste est: ………………………
6 est: ………………….
• Dans la division euclidienne de 235 par 14,
235 est : ……………………………
le quotient est : ……………………………
Exercice: Donner l’égalité correspondante à chaque division.
70
…
Exemple:
3
Donc 70 = 23 x 3 + 1
23
1
a)
146
…
4
36
2
d) 23 x 6 + 4 = 142
b) 310
…
10
12
25
c) 4 840
…
8
32
151
Ex10p56:
a)
Avec la calculatrice, poser et calculer le quotient et le reste;
puis donner l’égalité correspondante à chaque division.
346 : 17
346
b) 708 : 25
c) 1 702 : 65
17
Ex11p56:
Même chose avec
a) 346 : 13
b) 1 367 : 32
IV - Division décimale:
On parle de division décimale lorsque le quotient (le résultat) peut être décimal.
Dès qu’on a abaissé le chiffre des dixièmes,
On place la virgule dans le quotient.
Exemples : 45,2 : 8
45,20
- 40_
52
- 48_
40
- 40_
0
Lorsqu’il n’y a plus de chiffre à abaisser,
On rajoute un 0 pour continuer.
Quand le reste est nul, on s’arrête.
On dit que le quotient est exact.
On peut vérifier: 5,65 x 8 = … 45,2
√ OK
Quand la division ne s’arrête pas,
on doit donner une valeur approchée.
146 : 3 ≈ 48, 66….
8
5, 65
IV - Division décimale:
Exercice:
Poser les divisions décimales suivantes en donnant un résultat au centième près.
a)
123 : 6
123,00
6
b) 65,3 : 4
c) 654,3: 5
d) 146 : 3
On peut encadrer le résultat par 2 valeurs approchées :
Au dixième près on peut dire que 48, 66… est compris entre 48, 6 et 48,7.
48,66…
48,60
48,70
valeur approchée
valeur approchée
par défaut
par excès
48,6 est la valeur approchée par défaut.
On note l’encadrement :
48,7 est la valeur approchée par excès.
48,6 < 48,66 < 48,7
L’arrondi est la valeur approchée la plus proche.
L’arrondi au dixième de 48, 66… est donc 48,7
Astuce : Pour donner l’arrondi d’un nombre au dixième,
il faut regarder le chiffre des centièmes
• 0;1;2;3;4 sera arrondi par défaut
• 5;6;7;8;9 sera arrondi par excès
L’arrondi de 12,34 est 12,3
L’arrondi de 2,76 est 2,8
L’arrondi de 3,15 est 3,2
Ex40p58:
Maxime a effectué la division de 4 567 par 38 à la calculatrice.
4567 : 38 =
120,18421
a) Donner une valeur approchée au dixième près par excès.
b) Donner une valeur approchée au centième près par défaut.
Ex41p58:
Soit la division : 253:7
a) Donner une valeur approchée à l’unité près par défaut.
b) Donner une valeur approchée au dixième près par défaut.
Ex42p58:
Soit la division : 264:54
a) Donner une valeur approchée à l’unité près par excès.
b) Donner une valeur approchée au centième près par excès.
Ex43p58:
a)
b)
c)
d)
Soit la division : 8,59:9
Donner une valeur approchée à l’unité près par excès.
Donner une valeur approchée au dixième près par défaut.
Donner une valeur approchée au centième près par défaut.
Donner une valeur approchée au dixième près par excès.
Exercice:
Soit la division 236 : 7
1) Calculer
2) Donner un encadrement au dixième près
3) Donner l’arrondi au dixième près
Exercice:
Dans chaque cas : 1) Calculer
2) Donner un encadrement au dixième près
3) Donner l’arrondi au dixième près
a)
245,3 : 8
b) 95,3 : 4
c)
1 205 : 20
Problèmes:
1) Avec 103 œufs, combien de boîtes de 6 pourra-t-on remplir?
2) Dans un minibus, il y 8 places.
Combien de minibus faut-il pour emmener 38 élèves?
3) 5 amis doivent se partager136€.
Combien aura chacun?
V - Problèmes et divisions:
Suivant les problèmes, on effectuera une division euclidienne ou décimale.
• Si le résultat est forcement un nombre entier,
Alors on effectuera une division euclidienne.
• Si le résultat peut être décimal,
Alors on effectuera une division décimale.
Exemples:
1) Avec 103 œufs, combien de boîtes de 6 pourra-t-on remplir?
Le nombre de boites est entier → division euclidienne
103
-102
1
6
103 = 17 x 6 + 1
17
103 œufs, c’est 17 boîtes de 6 et 1 œuf .
On peut donc remplir 17 boîtes.
Exemple2:
Dans un minibus, il y a 8 places.
Combien de minibus faut-il pour emmener 38 élèves?
Le nombre de minibus est entier → division euclidienne:
38
- 32
6
Exemple 3:
38 = 4 x 8 + 6
8
4
Pour 38 élèves, il faut 4 minibus de 8 et un minibus avec 6 élèves.
Il faut donc 5 minibus.
5 amis doivent se partager136€.
Combien aura chacun?
Il peut y avoir des centimes → division décimale:
136 : 5 = 27,20
Ils auront 27,20€ chacun.
Ex 9p52 :
a)
Résoudre les problèmes suivants:
M. Martin range ses 127 bouteilles dans des casiers de 8 bouteilles.
Combien a-t-il de casiers complets
b) Anita range ses 43 CD dans des boîtes de 12.
Combien de CD y aura-t-il dans la dernière boîte de 12 ?
c)
45m de fil électrique coûtent 36€.
(1) Avec 1€, quelle longueur de fil puis-je avoir?
(2) Quel est le prix d’un mètre de fil ?
d) 3kg de viande pour animaux coûtent 18,30€.
Quel est le prix d’un kilogramme de cette viande ?
blanquette
e) Mme Perret achète 3kg de blanquette à la boucherie Sangras.
Combien va lui coûter son achat ?
18,30€ le kg
Ex 45p59 :
Pour chaque problème,
1) Indiquer quelle opération permet de le résoudre
2) Puis le résoudre
a)
Un grossiste en fruits met 167kg de pommes en sacs.
Chaque sac contient 5kg de pommes.
Combien de sacs remplira-t-il?
b) Un commerçant achète 16 cagettes de pêches.
Chaque cagette contient 6kg de pêches.
Quelle masse de pêches le commerçant a-t-il achetée?
c)
Sur le marché, Vân achète deux sortes de poires: 5,5kg de poires vertes à 1,50€
le kg et 2,8kg de poires jaunes à 1,80€ le kg.
Quelle masse de poires Vân a-t-elle achetée?
Ex 46p59 :
Un robinet débite 126L en 45 minutes.
Quelle quantité débite-t-il en 1minute ?
Ex 48p59 :
Dans une boulangerie, 3kg de pain coûtent 12€.
a) Quel est le prix d’un kilogramme de pain?
b) Quelle masse de pain puis-je acheter avec1€
Ex 49p59 :
Une baguette en bois de 50cm pèse 80g.
a) Combien pèse une même baguette de 1cm ?
b)Quelle est la longueur d’une même baguette qui pèse 1g ?
Ex 54p59 :
Quel est le prix d’un kg de ce raisin ?
Rumsteack
28€ le kg
Ex55p59:
Mme Hubert achète du rumsteack
à la boucherie Sanvo et paie 8,96€.
Quelle masse de viande a-t-elle achetée?
Ex56p59:
M Roux achète 0,875kg de rôti de porc
à la boucherie Mignon.
Quel prix paiera-t-il ?
Rôti
de
porc
12,60€ le kg
Ex 63p60 :
Marie a résolu un problème et elle explique ses calculs:
« D’abord je fais 127-31, puis je divise le résultat par 3. »
Parmi les problèmes suivants,
indiquer ceux qui se résolvent en effectuant tous les calculs de Marie.
a)
Julia a acheté 3 ballons et un maillot de son équipe de foot préférée à 31€.
Elle a payé 127€.
Quel est le prix d’un ballon ?
b) Dans une planche de longueur 127cm, je découpe un premier morceau de 31cm
puis je partage le reste en 3 petits morceaux.
Quelle est la longueur de chaque petite planche ?
c)
Dans une salle de cinéma, il y a 127 places. Seules 3 rangées de31 sièges sont
occupées. Combien de places libres y a-t-il ?
Ex 64p60 :
Les problèmes (1), (2) et (3) conduisent à effectuer deux opérations.
(1) : 25 boîtes de conserves, qui pèsent chacune 800g, sont placées dans une caisse.
La caisse et les boîtes pèsent 35kg au total.
Quelle est la masse de la caisse vide?
(2) : Au restaurant, 4 personnes choisissent chacune le menu et commandent une
bouteille de vin pour la tablée. La bouteille coûte 7€. Ils paient en tout 42€.
Quel est le prix du menu?
(3) : Au restaurant le menu est à 19€, vin non compris.
Chacun des 4 amis a pris ce menu et un pot de vin à 3€.
Quel est le montant de l’addition?
a)
Dans chaque cas, indiquer les opérations à effectuer, enprécisant l’ordre dans
lequel on doit les effectuer
b) Résoudre ces problèmes
Ex 62p60 :
Imagine un énoncé de problème conduisant à effectuer le calcul suivant:
Ex 75p61 :
Imagine un énoncé de problème conduisant à effectuer
125 – 17 puis à diviser le résultat par 8
C’est-à-dire:
(125 – 17) : 8
14,40 : 9
VI – Division mentale :
1) Diviser par 4:
c’est diviser par 2 puis diviser encore par 2
exemple:
84 : 4 = 21
:2
42
:2
2) Diviser par 10; par 100; ou par 1 000… :
c’est décaler la virgule de 1; 2; ou 3 rangs à gauche.
exemples:
56 : 10 =
48,9 : 10 =
3,8 : 100 =
89 : 100 =
VI – Division mentale :
Exercice:
Calculer mentalement
a) 68 : 4 =
b) 54 : 4 =
c) 140 : 4 =
d) 132 : 10 =
e) 32,9 : 10 =
f) 49 : 100 =
Sachant que 6 = 3 x 2,
Diviser par 6, c’est diviser par …………………………………………….
Calculer mentalement:
210 : 6 =
150 : 6 =